Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合時(shí)，以EP、ED為鄰邊作EDFP，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求AB長(zhǎng)．

（2）當(dāng)∠DPF=∠PFD時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，設(shè)EDFP與△ABC重疊部分圖形的面積為y（平方單位），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）連結(jié)AF，當(dāng)△AFD的面積與△PDE的面積相等時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】(1)10；（2）．(3) y=．(4) 0或.

【解析】

試題分析：（1）在RT△ABC中利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

（2）如圖1中，當(dāng)∠DPF=∠PFD時(shí)，可以證明PE∥AB，PC=PD，由此即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖2中，作PM⊥DE存在為M，此時(shí)重疊部分面積就是平行四邊形PEDF的面積，②當(dāng)＜t＜5時(shí)，如圖3中，此時(shí)y=S△PHD+S△PDE．

（4）兩種情形①t=O時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．②如圖4中，當(dāng)A、P、E共線時(shí)△ADF與△PDE面積相等，由DE∥AC得，求出PC即可．

試題解析：（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，

∴AB=．

（2）如圖1中，

∵四邊形PEDF是平行四邊形，

∴PF∥DE，PE∥DF，

∴∠DPF=∠PDE，

∵∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD=DB=DA=5，∵CE=EB，

∴DE⊥BC，∠CDE=∠EDB

∵∠DPF=∠PFD，

∴∠PED=∠BDE，

∴PE∥DB，∵CE=EB，

∴PC=PD=，

∴t=．

（3）①當(dāng)0≤t≤時(shí)，如圖2中，

作PM⊥DE存在為M，

∵PM∥CE，

∴，

∴，

∴PM=（5-t），

∴y=DEPM=（5-t）=-2t+10．

②當(dāng)＜t＜5時(shí)，如圖3中，

∵PH∥AC，

∴，

∴，

∴H=（5-t），

∴y=S△PHD+S△PDE=PHPM+（-2t+10）=t2-5t+15，

綜上所述：y=．

（4）①t=O時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．

②如圖4中，

當(dāng)A、P、E共線時(shí)，∵AE∥DF，

∴S△ADF=S△PDF=S△PED，

∵DE∥AC，

∴，

∴PC=，

∴t=，

∴t=0或時(shí)，△ADF與△PDE面積相等．