Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為頂點(diǎn)．

求直線的解析式和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

已知，點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，有一條長為的線段（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）在直線上移動(dòng)，首尾順次連接、、、構(gòu)成四邊形，請(qǐng)求出四邊形的周長最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

如圖，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊至，是否存在點(diǎn)使得與重疊部分的圖形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】直線的解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)． ．存在．當(dāng)與重疊部分的圖形是直角三角形時(shí)，的長為或或．

【解析】

(1)分別令x=0和y=0可求解出ABC三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解直線AC的解析式；將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式即可求解D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由于AC長度固定，故當(dāng)PR最大時(shí)，△APC的面積最大，由圖像可知，設(shè)P(m，m2+2m-3)，代入其中可求解m從而確定P點(diǎn)坐標(biāo)；將點(diǎn)沿方向平移個(gè)單位得到，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)四邊形的最長最小；

(3)分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，重疊部分是RT△FKQ；當(dāng)時(shí)，重疊部分是RT△FQD；、當(dāng)時(shí)，重疊部分是RT△QMF.

對(duì)于拋物線，令，得，解得或，

∴，，

令，得，

∴，

∵拋物線，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為，則有，解得，

∴直線的解析式為，點(diǎn)坐標(biāo)．

如圖中，設(shè)

由題意，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，即四邊形的面積最大，

∵

，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，即最長，

∴，

將點(diǎn)沿方向平移個(gè)單位得到，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)四邊形的最長最小，

∵直線的解析式為，直線的解析式為，

由解得，

∴，

∵，

∴，

∴直線的解析式為，

由解得，

∴，將點(diǎn)向下平移個(gè)單位，向右平移個(gè)單位得到，

∴．

存在．

①如圖中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是，作于．

由題意可求得，容易求得，，，，CD=

∵AD2=20=AC2+CD2,

∴∠ACD=90°，

∴，

∴，

∴

∴，，

∴，設(shè)，

在中，，

∴，

∴

②如圖中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是，此時(shí)．

③如圖中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是．

設(shè)，在中，，

∴，

∴．

綜上所述，當(dāng)與重疊部分的圖形是直角三角形時(shí)，的長為或或．