Question

全國(guó)第十屆數(shù)學(xué)教育方法論暨M(jìn)M課題實(shí)施20周年紀(jì)念活動(dòng)于9月27在無(wú)錫市一中拉開帷幕，與會(huì)期間全國(guó)數(shù)十位老師上了精彩紛呈的展示課，其中青島一位老師的“折紙”課，武漢的裴光亞教授評(píng)價(jià)是：“栩栩如生，五彩繽紛”，課堂上老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：你能用手中的矩形紙片盡可能大的折出一個(gè)菱形嗎？有兩位同學(xué)很快折出了各自不同的菱形，如下圖：

（1）如果該矩形紙片的長(zhǎng)為4，寬為3，則甲、乙兩圖中的菱形面積分別為： _______；
（2）這時(shí)老師說(shuō)，這兩位同學(xué)折出的菱形都不是最大的，聰明的你能夠想出最大的菱形應(yīng)該怎樣折出來(lái)嗎？如下圖所示：在矩形ABCD中，設(shè)AB=3，AD=4，請(qǐng)你在圖中畫出面積最大的菱形的示意圖，標(biāo)注上適當(dāng)?shù)淖帜�，并求出這個(gè)菱形的面積。

（3）借題發(fā)揮：如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，若折疊該矩形，使得點(diǎn)D與AB邊的中點(diǎn)E重合，折痕交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，邊DC折疊后與BC交于點(diǎn)M，試求：△EBM的面積。

Answer 1

解：（1）6和9；
（2）如圖：（以BD或 AC為對(duì)角線，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC） 注意：只要畫出圖形，不必寫畫法， 如圖 設(shè)線段ED的長(zhǎng)為x ∵ 四邊形BFDE是菱形 ∴ED=BE=x 又∵矩形ABCD中 AB=3，AD=4 ∴AE=4-x 在Rt△ABE中 AE2+AB2=BE2 ∴ 解之得：x= ∴ED= ∴；
（3）如圖 ∵ 對(duì)折 ∴DF=EF 設(shè)線段DF的長(zhǎng)為x，則EF=x ∵AD=3 ∴AF=3-x ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2 ∴AE=BE=1 ∴ 在Rt△AEF中有 ∴ 解之得：x= ∴AF= 在矩形ABCD中由于對(duì)折 ∴∠D=∠FEM=90° ∴∠1+∠2=90° 又∵∠A=∠B=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3 ∴ ∴ ∴BM= ∴。