Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中點(diǎn)，⊙O與AC、BC分別相切于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F是⊙O與AB的一個(gè)交點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)是 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：連接OD．

∵AC為圓O的切線，∴OD⊥AC，

又∵AC=BC=4，∠C=90°，

∴∠A=45°，

根據(jù)勾股定理得：AB= =4 ，

又∵O為AB的中點(diǎn)，

∴AO=BO= AB=2 ，

∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2 × =2，

∴BF=OB﹣OF=2 ﹣2．

∵GC⊥AC，OD⊥AC，

∴OD∥CG，

∴∠ODF=∠G，

又∵∠OFD=∠BFG，

∴△ODF∽△BGF，

∴ = ，即 = ，

∴BG=2 ﹣2．

所以答案是：2 ﹣2．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．