Question

如圖，在一個(gè)橫截面為Rt△ABC的物體中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人師傅先將AB邊放在地面（直線l）上．
（1）請(qǐng)直接寫出AB，AC的長；
（2）工人師傅要把此物體搬到墻邊（如圖），先按順時(shí)針方向繞點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到△A₁BC₁位置（BC₁在l上），最后沿BC₁的方向平移到△A₂B₂C₂的位置，其平移的距離為線段AC的長度（此時(shí)A₂C₂恰好靠在墻邊）．畫出在搬動(dòng)此物的整個(gè)過程A點(diǎn)所經(jīng)過的路徑，并求出該路徑的長度．
（3）若沒有墻，像（2）那樣翻轉(zhuǎn)，將△ABC按順時(shí)針方向繞點(diǎn)B翻轉(zhuǎn)到△A₁BC₁位置為第一次翻轉(zhuǎn)，又將△A₁BC₁按順時(shí)針方向繞點(diǎn)C₁翻轉(zhuǎn)到△A₂B₂C₁（A₁C₁在l上）為第二次翻轉(zhuǎn)，求兩次翻轉(zhuǎn)此物的整個(gè)過程點(diǎn)A經(jīng)過路徑的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形的三邊關(guān)系，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可以直接確定AB、AC．
（2）根據(jù)要求畫出路徑，再用弧長公式求解路徑的長度．
（3）根據(jù)題意得到Rt△ABC在直線l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次點(diǎn)A分別繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)120°和繞C旋轉(zhuǎn)90°，將兩條弧長求出來加在一起即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=30°，BC=1米
∴AB=2米，AC=

3

米．

（2）畫出A點(diǎn)經(jīng)過的路徑：
∵∠ABA₁=180°-60°=120°，A₁A₂=AC=

3

米
∴A點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長=

120

180

•π•2+

3

=

4

3

π+

3

≈5.9（米）．

（3）在Rt△ABC中，∵BC=1，AC=

3

∴AB=2，∠CBA=60°，
∴弧AA₁=

120

180

π×2=

4

3

π，
弧A₁A₂=

90

180

π×

3

=

3

2

π，
∴點(diǎn)A經(jīng)過的路線的長是

4

3

π+

3

2

π．
故兩次翻轉(zhuǎn)此物的整個(gè)過程點(diǎn)A經(jīng)過路徑的長度為是

4

3

π+

3

2

π．

點(diǎn)評(píng)：考查了弧長的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，本題是動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵是要確定動(dòng)點(diǎn)規(guī)律或特性，然后解答．