Question

已知：如圖，M是線段BC的中點，BC=4，分別以MB、MC為邊在線段BC的同側作等邊△BAM、等邊△MCD，連接AD

【小題1】求證：四邊形ABCD是等腰梯形
【小題2】將△MDC繞點M逆時針方向旋轉α(60º<α<120º)，得到△MD´C´，MD´交AB于點E，MC´交AD于點F，連接EF．
①求證：EF∥D´C´；
②△AEF的周長是否存在最小值?如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值.

Answer 1

【小題1】見解析
【小題2】存在最小值。當ME最小時，即ME⊥AB2+解析:
(1)等邊△BAM、等邊△MCD
∴AB=AM=BM,CD=CM=DM,∠ABM=∠AMB=60º, ∠DCM=∠DMC=60º
 M是線段BC的中點
∴MB=MC
∴AM="DM," ∠AMD=60º
∴∠DAM=60º
∴AD∥BC
 ∠B= ∠C
∴四邊形ABCD是等腰梯形
(2) ①∠EMA=α-60º, ∠FMD=α-60º
∴∠EMA=∠FMD
∠BAM=∠ADM,AM=DM
∴△AEM≌△DMF
∴ME=MF
 MD´= MC´
∴EF∥D´C´
②存在最小值。當ME最小時，即ME⊥AB，周長=1+1+=2+