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        1. 【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為( )

          A. B. C. D.

          【答案】C

          【解析】由題意可知,OE為對角線AC的中垂線,則CE=AE=5,S△AEC=2S△AOE=10,由S△AEC求出線段AE的長度,進而在Rt△BCE中,由勾股定理求出線段BE的長度;然后證明∠BOE=∠BCE,從而可求得結(jié)果.

          解:如圖所示,連接EC.


          由題意可得,OE為對角線AC的垂直平分線,
          ∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5,
          ∴S△AEC=2S△AOE=10.
          AEBC=10,又BC=4,
          ∴AE=5,
          ∴EC=5.
          在Rt△BCE中,由勾股定理得:BE==3.
          ∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°,
          ∴B、C、O、E四點共圓,
          ∴∠BOE=∠BCE.
          (另解:∵∠AEO+∠EAO=90°,∠AEO=∠BOE+∠ABO,
          ∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°,又∠ABO=90°-∠OBC=90°-(∠BCE+∠ECO)
          ∴∠BOE+(90°-(∠BCE+∠ECO))+∠EAO=90°,
          化簡得:∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
          ∵OE為AC中垂線,
          ∴∠EAO=∠ECO.
          代入上式得:∠BOE=∠BCE.)
          ∴sin∠BOE=sin∠BCE=
          故答案為:

          “點睛”本題是幾何綜合題,考查了矩形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角、三角函數(shù)的定義等知識點,有一定的難度.解題要點有兩個:(1)求出線段AE的長度;(2)證明∠BOE=∠BCE.

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          A.9°
          B.18°
          C.27°
          D.36°

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