Question

【題目】如圖，已知拋物線的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線：，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，的平分線交線段于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖1，動(dòng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上，連結(jié)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形面積最大，并求出其最大值，

(3)如圖②，是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接，在拋物線軸下方的圖像上是否存在點(diǎn)使滿足:①；②？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2），當(dāng)=時(shí)，四邊形面積最大，最大值是；（3）或

【解析】

（1）首先根據(jù)對(duì)稱性得出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得解；

（2）設(shè)P坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PF||軸，將四邊形OPCE的面積表示為：，計(jì)算即可；

（3）區(qū)分為P在對(duì)稱軸左，右兩側(cè)進(jìn)行討論，借用，構(gòu)造一線三角形相似，列出等量關(guān)系，計(jì)算即可．

（1）如圖，設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D

由對(duì)稱性得：D(3,0)

設(shè)拋物線的解析式為：

把A(0,3)代入得：即

∴拋物線的解析式：

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸，交AC于點(diǎn)F

在中，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∵A（0,3），∴C（4,3）

∵OE平分，且

∴

∴AE=AO=3

設(shè)，則

則，，

故

∵P在BC的下方

∴

∴當(dāng)時(shí)，四邊形OPCE的面積最大，最大值為：

（3）若點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)，

過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N

由題得：

∴

∵，則，，

∴，解得

此時(shí)

若點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)

過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作交MN于點(diǎn)M

由題得：

∴

∵，則，

∴，解得

此時(shí)

綜上：點(diǎn)P為，．