Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）若已知a＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．

①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（2，0）；（2）①P（4，21），（﹣4，5）；②當(dāng)m＝﹣時，QD的最大值為．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)題意可求拋物線解析式，可求△BOC的面積，根據(jù)S△POC=4S△BOC，可求P點(diǎn)坐標(biāo)；
③求出直線AC解析式，設(shè)點(diǎn)Q（m，-m-3）（-3≤m≤0），則點(diǎn)D（m，m2+2m-3），根據(jù)二次函數(shù)的最值求法，可求QD的最大值．

（1）∵對稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且A，B關(guān)于對稱軸對稱，

∴B（2，0）；

（2）①∵對稱軸是直線x＝﹣1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），且A，B關(guān)于對稱軸對稱，

∴B（1，0），即OB＝1，

∵a＝1，

∴拋物線解析式y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3；

當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，

∴點(diǎn)C（0，﹣3），即OC＝3，

∴S△BOC＝OB×OC＝，

設(shè)P（x，x2+2x﹣3），

∴S△POC＝×3×|x|，

∵S△POC＝4S△BOC，

∴|x|＝4×，

∴x＝±4，

∴P（4，21），（﹣4，5）；

②∵點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），

∴直線AC解析式y＝﹣x﹣3，

∴設(shè)點(diǎn)Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），

則點(diǎn)D（m，m2+2m﹣3），

∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+）2+，

∴當(dāng)m＝﹣時，QD的最大值為．