Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），在B在y軸的正半軸上，且S△AOB=24．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P從B出發(fā)沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)，速度每秒2個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，△AOP的面積為S，求S與t的關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若S△AOP：S△ABP=1：3，且S△AOP+S△ABP=S△AOB ， 在線段AB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)Q，使得△AOQ的面積與△BPQ的面積相等？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），
∴OA=6，
∴S△AOB=×OA×OB=24，
則OB=8，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，8）；
（2）當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=×（8﹣2t）×6=24﹣6t，
當(dāng)t≥4時(shí)，S=×（2t﹣8）×6=6t﹣24；
（3）∵S△AOP+S△ABP=S△AOB ，
∴點(diǎn)P在線段OB上，
∵S△AOP：S△ABP=1：3，
∴OP：BP=1：3，
又∵OB=8，
∴OP=2，BP=6，
線段AB的垂直平分線上交OB于E，交AB于F，
∵OB=8，OA=6，
∴AB==10，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4），
∵EF⊥AB，∠AOB=90°，
∴△BEF∽△BAO，
∴=，即=，
解得，BE=，
則OE=8﹣=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
則，
解得，k=，b=，
∴直線EF的解析式為y=x+，
∵△AOQ的面積與△BPQ的面積相等，又OA=BP，
∴x=y，或x=﹣y，
當(dāng)x=y時(shí)，x=x+，解得，x=7，
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（7，7）；
當(dāng)x=﹣y時(shí)，﹣x=x+，解得，x=﹣1，
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（7，7）或（﹣1，1）．

【解析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求出OB的長(zhǎng)即可；
（2）分0≤t＜4和t≥4兩種情況，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意和三角形的面積公式求出OP、BP的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線ef的解析式，根據(jù)等底的兩個(gè)三角形面積相等，它們的高也相等分x=y和x=﹣y兩種情況計(jì)算即可．