Question

（2008•徐匯區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=

4

5

．點(diǎn)P、Q分別是AC、BA邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=BQ=x．
（1）若△APQ的面積是y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)，求x的值；
（3）如果點(diǎn)R是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且CR=AP=BQ=x，那么是否存在這樣的x，使得∠PQR=90°？若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，利用條件sinA=

3

5

，可得到QM和AQ的關(guān)系，根據(jù)三角形的面積公式可得y=

1

2

AP•QM=

1

2

x•

3

5

（10-x）=-

3

10

x²+3x，再根據(jù)已知條件求出自變量的取值范圍即可；
（2）本小題要分三種情況：①當(dāng)AP=AQ時(shí)，②當(dāng)AP=PQ時(shí)，③當(dāng)AQ=PQ時(shí)分別討論求出x的值即可；
（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)R作RN⊥AB于N，當(dāng)∠PQR=90°時(shí)，∠PQM+∠NQR=90°，再根據(jù)已知條件證明△PQM∽△QRN，由相似三角形的性質(zhì)可得到

RN

QN

=

QM

PM

，因?yàn)镽N=

4

5

AR=

4

5

（AC-CR）=

4

5

（6-x），PM=

3

5

AP=

3

5

x，QN=10-AQ-BN=

8

5

x-

18

5

，QM=AQ-AM=10-

9

5

x，所以可得到方程得6x²-49x+90=0，進(jìn)而求出x的值．反之，當(dāng)AP=BQ=CR=

49+ 241

12

時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N，由以上思路也可求出x的另外一個(gè)值．

解答：解：（1）過點(diǎn)Q作QM⊥AC于M，
在Rt△AMQ中，∠AMQ=90°，
∵sinA=

QM

AQ

=

3

5

，
∴QM=

3

5

AQ=

3

5

（10-x），
∴y=

1

2

AP•QM=

1

2

x•

3

5

（10-x）=-

3

10

x²+3x；
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sinA=

BC

AC

，
∴BC=AB•sinA=10×

3

5

=6，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
∴自變量x的取值范圍為：0＜x≤8；

（2）分三種情況：①當(dāng)AP=AQ時(shí)，有x=10-x，
∴x=5；
②當(dāng)AP=PQ時(shí)，過點(diǎn)P作PN⊥AB于N，
在Rt△ANP中，∠ANP=90°，
∴AN=APcosA，
∵sinA=

3

5

，
∴cosA=

4

5

，
∵AN=

1

2

AQ=

10-x

2

，
∴

10-x

2

=

4

5

x，
解得：x=

50

13

；
③當(dāng)AQ=PQ時(shí)，過點(diǎn)Q作QS⊥AC于S，
在Rt△ASQ中，∠ASQ=90°，
∴AS=AQcosA，
即

x

2

=

4

5

(10-x)，
解得x=

80

13

；
綜合①、②、③，x=5或

50

13

或

80

13

．

（3）存在這樣的x，使得∠PQR=90°，
理由如下：
過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N，
當(dāng)∠PQR=90°時(shí)，∠PQM+∠NQR=90°，
∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴∠NQR+∠NRQ=90°，
∴∠NRQ=∠MQP，
∴△PQM∽△QRN，
∴

RN

QN

=

QM

PM

，
∵RN=

4

5

AR=

4

5

（AC-CR）=

4

5

（8-x），PM=

3

5

AP=

3

5

x，QN=10-AQ-BN=

8

5

x-

18

5

，QM=AQ-AM=10-

9

5

x，
∴

4 5 (8-x)

8 5 x- 18 5

=

10- 9 5 x

3 5 x

，
化簡，得6x²-49x+90=0解得x=

49± 241

12

；
反之，當(dāng)AP=BQ=CR=

49+ 241

12

時(shí)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M過點(diǎn)Q作RN⊥AB于N
∵RN=

4

5

(8-x)=

23- 241

15

，QM=10-

9

5

x=

53-3 241

20

，QN=

8

5

x-

18

5

=

44+2 241

15

，PM=

3

5

x=

49+ 241

20

．
∴

RN

QM

=

31+ 241

30

，

QN

PM

=

31+ 241

30

∴

RN

QM

=

QN

PM

，
又∵∠RNQ=∠QMP=90°，
∴△RNQ∽△QMP，
∴∠QRN=∠MQP，又∠QNR+∠NQR=90°，
∴∠MQP+∠NQR=90°，
∴∠PQR=90°，
同理，當(dāng)AP=BQ=CR=

49- 241

12

時(shí)，可證∠PQR=90°．
綜合以上，當(dāng)x=

49± 241

12

時(shí)，∠PQR=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)、三角形的面積公式、勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的計(jì)算和分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求相當(dāng)高．