Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，6）．雙曲線y= （x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，且△BCF∽△EBD，求直線FB的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形OABC中，

∵B（4，6），

∴BC邊中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，6），

∵又曲線y= 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，6），

∴k=12，

∵E點(diǎn)在AB上，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

∵y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，

∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）

（2）

解：由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，

∵△FBC∽△DEB，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴OF= ，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0， ），

設(shè)直線FB的解析式為y=kx+b，而直線FB經(jīng)過(guò)B（4，6），F(xiàn)（0， ），

∴ ，解得 ，

∴直線BF的解析式為y= x+

【解析】（1）由條件可先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)可求得k的值，又由點(diǎn)E的位置可求得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由相似三角形的性質(zhì)可求得CF的長(zhǎng)，可求得OF，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線FB的解析式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．