Question

【題目】如圖，已知四邊形中，，，且，，對(duì)角線．

求證：四邊形是矩形；

如圖，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接、，若，求的值；

如圖，若點(diǎn)在對(duì)角線上，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒，請(qǐng)你探索：從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)求出所有可能的結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過(guò)秒或秒或秒時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)∠B=90°，得出四邊形ABCD是矩形；
（2）先過(guò)Q作QM⊥BC于M點(diǎn)，AP與BQ交于點(diǎn)N，判定△ABP∽△BMQ，得出=，即=，求得t的值即可；
（3）分為三種情況討論：當(dāng)CQ=CP=4cm時(shí)，當(dāng)PQ=CQ=4cm時(shí)，當(dāng)QP=CP時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得BP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到t的值．

證明：∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，，，

∴，，

∴，

∴，

∴四邊形是矩形；

如圖，過(guò)作于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則

，，，，

∵，，

∴，且，

∴，

∴，即，

解得；

分為三種情況：

①如圖所示，當(dāng)時(shí)，，

∴秒；

②如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則

，

∴，即，

解得，

∵，，

∴，

∴，

∴秒；

③如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則

，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

∴秒．

綜上所述，從運(yùn)動(dòng)開始，經(jīng)過(guò)秒或秒或秒時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．