Question

25、如圖，已知菱形ADEF和等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=54°，點(diǎn)B、C分別在DE、EF．（B、C分別不與E、F重合）
（1）如圖1，當(dāng)AE平分∠BAC時(shí)，
①求證：BD=CF；
②當(dāng)AD=AB時(shí)，求∠ABD的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)AE不平分∠BAC時(shí)，若△ADB是一個(gè)等腰三角形，求∠ABD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由AE平分∠BAC，AB=AC，AE=AE，易證△ABE≌△ACE，則BE=CE，又四邊形ADEF是菱形，可得DE=EF，即可得證；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，AN⊥EF于點(diǎn)N，由AE平分∠DEF得AM=AN，可證Rt△AMB≌Rt△ANC（HL），則∠MAB=∠NAC，∠MAN=∠BAC；根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，∠D=∠MAN=∠BAC=54°，最后要分三種情況討論求解：Ⅰ．當(dāng)BD=BA時(shí)；Ⅱ．當(dāng)AD=AB時(shí)；Ⅲ．因?yàn)镈A不可能等于DB，所以第三種情況不存在．

解答：解：（1）①證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AB=AC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE（2分）
∴BE=CE，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴DE=EF
∴DB=CF（5分）
②當(dāng)AD=AB時(shí)，設(shè)∠D=x°，得∠FAC=∠DAB=（180-2x）°（6分）
由AF∥DE得∴x+2（180-2x）+54=180
解得x=78∴∠ABD=78°（9分）

（2）過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，AN⊥EF于點(diǎn)N，由AE平分∠DEF得AM=AN，
又∵AB=AC
∴Rt△AMB≌Rt△ANC
∴∠MAB=∠NAC
∴∠MAN=∠BAC
又∵∠MAN+∠MEN=180°，∠D+∠MEN=180°
∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°（11分）
若△ADB是一個(gè)等腰三角形，下面分三種情況討論：
Ⅰ．當(dāng)BD=BA時(shí)，得∠D=∠DAB=54°
解得∠ABD=72°（12分）
Ⅱ．當(dāng)AD=AB時(shí)，得∠ABD=∠D=54°，
由∠BAC=54°得AC∥DE
∴AC與AF重合，這與AC與AF不重合矛盾
∴此種情況不存在．
Ⅲ．因?yàn)镈A不可能等于DB，所以第三種情況不存在．
綜上所述：當(dāng)△ADB是一個(gè)等腰三角形時(shí)，∠ABD的度數(shù)等于72°（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查菱形的性質(zhì)，同時(shí)綜合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)，注意題意中的“△ADB是一個(gè)等腰三角形”，哪兩條邊是腰，應(yīng)該分情況討論．