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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2+bxA40),B1,3)兩點,點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點B作直線BH⊥x軸,交x軸于點H

          1)求拋物線的表達式;

          2)直接寫出點C的坐標(biāo),并求出△ABC的面積;

          3)點P是拋物線上一動點,且位于第四象限,當(dāng)△ABP的面積為6時,求出點P的坐標(biāo);

          4)若點M在直線BH上運動,點Nx軸上運動,當(dāng)以點C、MN為頂點的三角形為等腰直角三角形時,請直接寫出此時△CMN的面積.

          【答案】1y=﹣x2+4x;(2)(3,3);3;(3)(5﹣5);(42.514.5175

          【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸x=2寫出點C的坐標(biāo)為(3,3),根據(jù)面積公式求△ABC的面積;(3)因為點P是拋物線上一動點,且位于第四象限,設(shè)出點P的坐標(biāo)(m,﹣m2+4m),利用差表示△ABP的面積,列式計算求出m的值,寫出點P的坐標(biāo);(4)分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論,利用全等三角形和勾股定理求CMCN的長,利用面積公式進行計算.

          試題解析:(1)把點A40),B1,3)代入拋物線y=ax2+bx中,

          解得: ,

          拋物線表達式為:y=﹣x2+4x

          2)點C的坐標(biāo)為(3,3),

          B的坐標(biāo)為(1,3),

          ∴BC=2,

          SABC=×2×3=3;

          3)過P點作PD⊥BHBH于點D

          設(shè)點Pm,﹣m2+4m),

          根據(jù)題意,得:BH=AH=3,HD=m2﹣4mPD=m﹣1,

          ∴SABP=SABH+S四邊形HAPD﹣SBPD,

          6=×3×3+3+m﹣1)(m2﹣4mm﹣1)(3+m2﹣4m),

          ∴3m2﹣15m=0

          m1=0(舍去),m2=5

          P坐標(biāo)為(5,﹣5).

          4)以點CM、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時,分三類情況討論:

          以點M為直角頂點且Mx軸上方時,如圖2,CM=MN,∠CMN=90°

          △CBM≌△MHN,

          ∴BC=MH=2,BM=HN=3﹣2=1

          ∴M1,2),N20),

          由勾股定理得:MC=,

          SCMN=××=;

          以點M為直角頂點且Mx軸下方時,如圖3,作輔助線,構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形:Rt△NEMRt△MDC,

          Rt△NEM≌Rt△MDC,

          ∴EM=CD=5MD=ME=2,

          由勾股定理得:CM==

          SCMN=××=;

          以點N為直角頂點且Ny軸左側(cè)時,如圖4,CN=MN,∠MNC=90°,作輔助線,

          同理得:CN==

          SCMN=××=17;

          以點N為直角頂點且Ny軸右側(cè)時,作輔助線,如圖5,同理得:CN==

          SCMN=××=5;

          C為直角頂點時,不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形;

          綜上所述:CMN的面積為: 175

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