Question

（2009•臺(tái)州模擬）在△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M沿邊AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AC以3cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)M不與A，B重合，點(diǎn)N不與A，C重合），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．
（1）求證：△AMN∽△ABC；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切？
（3）把△AMN沿直線MN折疊得到△MNP，若△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證△AMN∽△ABC，可以通過應(yīng)用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，（AM：AN=AB：AC=4：3，∠A=∠A）得出；
（2）MN為直徑的⊙O與直線BC相切，則圓心O到直線BC的距離等于半徑，列出函數(shù)關(guān)系式，求出x的值；
（3）因?yàn)椤螦=90°，△MNP與梯形BCNM重疊部分的面積分為兩種情況：等于S_△PMN，或等于S_△MNP-S_△PEF，列出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，求出當(dāng)時(shí)，y值最大，最大值是8．
解答：（1）證明：∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC．（4分）

（2）解：在Rt△ABC中，BC==10．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴
∴MN=5x，
∴⊙O的半徑r=
可求得圓心O到直線BC的距離d=
∵⊙O與直線BC相切
∴=．解得x=
當(dāng)x=時(shí)，⊙O與直線BC相切．（8分）

（3）解：當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．（9分）
故以下分兩種情況討論：
①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，y=S_△PMN=6x²，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y_最大=6×1²=6．（11分）
②當(dāng)1＜x＜2時(shí)，設(shè)MP交BC于E，NP交BC于F
MB=8-4x，MP=MA=4x
∴PE=4x-（8-4x）=8x-8
y=S_△MNP-S_△PEF==（13分）
∴當(dāng)時(shí)，y_最大=8．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，y值最大，最大值是8．（14分）
點(diǎn)評(píng)：考查了相似三角形的判斷，結(jié)合切線的性質(zhì)，及三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．