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        1. “三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問(wèn)題,但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法(如圖):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=
          1
          x
          的圖象交于點(diǎn)P,以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R.分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=
          1
          3
          ∠AOB.要明白帕普斯的方法,請(qǐng)研究以下問(wèn)題:
          (1)設(shè)P(a,
          1
          a
          )、R(b,
          1
          b
          ),求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(用含a,b的代數(shù)式表示);
          (2)分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上,并據(jù)此證明精英家教網(wǎng)∠MOB=
          1
          3
          ∠AOB;
          (3)應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論,你如何三等分一個(gè)鈍角(用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明).
          分析:(1)直線OM是正比例函數(shù),可利用所給的坐標(biāo)得到M的坐標(biāo),代入函數(shù)解析式即可;
          (2)根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo),看是否符合(1)中的函數(shù)解析式;運(yùn)用矩形的性質(zhì),作圖過(guò)程中的條件,外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系,即可得證;
          (3)既然能作出銳角的三等分角,先將此鈍角的一半(銳角)三等分,再作鈍角的三等分角.
          解答:解:(1)設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx,P(a,
          1
          a
          )、R(b,
          1
          b
          ).(1分)
          則M(b,
          1
          a
          ),
          ∴k=
          1
          a
          ÷b=
          1
          ab
          .(2分)
          ∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          ab
          x.(3分)

          (2)∵Q的坐標(biāo)(a,
          1
          b
          ),滿足y=
          1
          ab
          x,
          ∴點(diǎn)Q在直線OM上.
          ∵四邊形PQRM是矩形,
          ∴SP=SQ=SR=SM=
          1
          2
          PR.
          ∴∠SQR=∠SRQ.(5分)
          ∵PR=2OP,
          ∴PS=OP=
          1
          2
          PR.
          ∴∠POS=∠PSO.(6分)
          ∵∠PSQ是△SQR的一個(gè)外角,
          ∴∠PSQ=2∠SQR.
          ∴∠POS=2∠SQR.(7分)
          ∵QR∥OB,
          ∴∠MOB=∠SQR.(8分)
          ∴∠POS=2∠MOB.(9分)
          ∴∠MOB=
          1
          3
          ∠AOB.(10分)

          (3)①先做出鈍角的一半,按照上述方法先將此鈍角的一半(銳角)三等分,進(jìn)而做出再做一個(gè)角與已做得的角相等即可得到鈍角的三等分角.
          ②先作鈍角的鄰補(bǔ)角的三等分角,然后再以得到的三等分角作等邊三角形可得鈍角的三等分角,在鈍角內(nèi)作做出這個(gè)角即可.
          點(diǎn)評(píng):過(guò)某個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式.注意使用作圖過(guò)程中利用的條件.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)“三等分一個(gè)角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題.今天人們已經(jīng)知道,僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的,在探索中,有人曾利用過(guò)如下的圖形:其中,ABCD是長(zhǎng)方形,F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),G是CF上一點(diǎn),并且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠GFA,你能證明∠ECB=
          13
          ∠ACB嗎?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題,但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明,僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”.但對(duì)于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的.如圖a,∠AOB=90°,我們?cè)谶匫B上取一點(diǎn)C,用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE,則射線OD、OE將∠AOB三等分.仔細(xì)體會(huì)一下其中的道理,然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需寫(xiě)作法,但需保留作圖痕跡,允許適當(dāng)添加文字的說(shuō)明)
          精英家教網(wǎng)
          (2)數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法(如圖c):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=
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          x
          的圖象交于點(diǎn)P,以P為圓心、2OP長(zhǎng)為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R.分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=
          1
          3
          ∠AOB.要明白帕普斯的方法,請(qǐng)研究以下問(wèn)題:
          ①設(shè)P(a,
          1
          a
          )、R(b,
          1
          b
          ),求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(用含a、b的代數(shù)式表示).
          ②分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=
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          ∠AOB.
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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•天津)“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題.已知一個(gè)角∠MAN,設(shè)∠α=
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          ∠MAN.
          (Ⅰ)當(dāng)∠MAN=69°時(shí),∠α的大小為
          23
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          (度);
          (Ⅱ)如圖,將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm的網(wǎng)格中,角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行,另一邊AN經(jīng)過(guò)格點(diǎn)B,且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺,請(qǐng)你在圖中作出∠α,并簡(jiǎn)要說(shuō)明做法(不要求證明)
          如圖,讓直尺有刻度一邊過(guò)點(diǎn)A,設(shè)該邊與過(guò)點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C,與過(guò)點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D,保持直尺有刻度的一邊過(guò)點(diǎn)A,調(diào)整點(diǎn)C、D的位置,使CD=5cm,畫(huà)射線AD,此時(shí)∠MAD即為所求的∠α.
          如圖,讓直尺有刻度一邊過(guò)點(diǎn)A,設(shè)該邊與過(guò)點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C,與過(guò)點(diǎn)B水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D,保持直尺有刻度的一邊過(guò)點(diǎn)A,調(diào)整點(diǎn)C、D的位置,使CD=5cm,畫(huà)射線AD,此時(shí)∠MAD即為所求的∠α.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年江蘇省無(wú)錫市育才中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷(解析版) 題型:解答題

          (1)“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題,但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明,僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”.但對(duì)于特定度數(shù)的已知角,如90°角、45°角等,是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的.如圖a,∠AOB=90°,我們?cè)谶匫B上取一點(diǎn)C,用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD,作射線OD,再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE,則射線OD、OE將∠AOB三等分.仔細(xì)體會(huì)一下其中的道理,然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分(已知∠MON=45°).(不需寫(xiě)作法,但需保留作圖痕跡,允許適當(dāng)添加文字的說(shuō)明)

          (2)數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法(如圖c):將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中,邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)P,以P為圓心、2OP長(zhǎng)為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R.分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)M,連接OM得到∠MOB,則∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法,請(qǐng)研究以下問(wèn)題:
          ①設(shè)P(a,)、R(b,),求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(用含a、b的代數(shù)式表示).
          ②分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB.

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