Question

【題目】我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′，當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．

（1）特例感知：在圖2、圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．

①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=______BC；

②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長為______．

（2）精確作圖：如圖4，已知在四邊形ABCD內(nèi)部存在點(diǎn)P，使得△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”（點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B），請用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P（要求：保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（3）猜想論證：在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①，②4；（2）見解析；（3）AD=BC.

【解析】

（1）①根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)解答；②證明△AB′C′≌△ABC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到B′C′=BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、利用尺規(guī)作圖作出點(diǎn)P；

（3）證明四邊形AB′EC′是平行四邊形，得到B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BC，得到答案．

解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，

∵△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，

∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，

∴AB′=AC′，

∴∠AB′D=30°，

∴AD=AB′，

∴AD=BC，

故答案為：；

②∵△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，

∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，

在△AB′C′和△ABC中，

，

∴△AB′C′≌△ABC（SAS）

∴B′C′=BC=8，

∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”，

∴AD=B′C′=4，

故答案為：4；

（2）如圖4，作線段AD、BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P，

∴點(diǎn)P即為所作；

（3）AD=BC，

證明：如圖1，延長AD到E，使得DE=AD，連接B′E、C′E，

∵AD是△AB′C’的中線，

∴B′D=C′D，

∵DE=AD，

∴四邊形AB′EC′是平行四邊形，

∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，

∵α+β=180°，

∴∠B′AC′+∠BAC=180°，

∴∠EB′A=∠BAC，

在△EB′A和△CAB中，

∴△EB′A≌△CAB（SAS），

∴AE=BC，

∴AD=BC．