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        1. 【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點(diǎn),AF,DE相交于點(diǎn)G,當(dāng)E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點(diǎn)時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.

          試探究下列問題:

          (1)如圖1,若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn),F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn),且CE=DF,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)

          (2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結(jié)論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;

          (3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,連接AE和EF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結(jié)論.

          【答案】(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,(2)上述結(jié)論①,②仍然成立,證明見解析;(3)四邊形MNPQ是正方形.證明見解析.

          【解析】

          試題分析:(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;

          (2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;

          (3)首先設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,由點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.

          試題解析:(1)上述結(jié)論①,②仍然成立,

          理由為:∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,

          在△ADF和△DCE中,

          ,

          ∴△ADF≌△DCE(SAS),

          ∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,

          ∵∠ADG+∠EDC=90°,

          ∴∠ADG+∠DAF=90°,

          ∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;

          (2)上述結(jié)論①,②仍然成立,

          理由為:∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,

          在△ADF和△DCE中,

          ∴△ADF≌△DCE(SAS),

          ∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,

          ∵∠ADG+∠EDC=90°,

          ∴∠ADG+∠DAF=90°,

          ∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;

          (3)四邊形MNPQ是正方形.

          理由為:如圖,設(shè)MQ,DE分別交AF于點(diǎn)G,O,PQ交DE于點(diǎn)H,

          ∵點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點(diǎn),

          ∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,

          ∴四邊形OHQG是平行四邊形,

          ∵AF=DE,

          ∴MQ=PQ=PN=MN,

          ∴四邊形MNPQ是菱形,

          ∵AF⊥DE,

          ∴∠AOD=90°,

          ∴∠HQG=∠AOD=90°,

          ∴四邊形MNPQ是正方形.

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