Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側）

（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）求線段AB的長；

（3）拋物線與y軸交于點C（點C不與原點O重合），若△OAC的面積始終小于△ABC的面積，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣1）；（2）2；（3）﹣1＜m＜3且 m≠1

【解析】

（1）將拋物線配方成頂點式即可得頂點坐標；

（2）求出y＝0時x的值即可得；

（3）由△OAC與△ABC等高且△OAC的面積小于△ABC的面積，知OA＜AB，分點A在x軸的正半軸和點A在x軸的負半軸解答可得.

解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，

∴頂點為（m，﹣1）；

（2）令y＝0

∴x2﹣2mx+m2﹣1＝0

解得：x1＝m﹣1，x2＝m+1，

∵點 A在點B的左側，

∴A（m﹣1，0），B（m+1，0），

∴AB＝（m+1）﹣（ m﹣1 ）＝2；

（3）∵△OAC與△ABC等高

△OAC的面積小于△ABC的面積

∴OA＜AB，

①當點A在x軸的正半軸上時，

如圖1，

則m﹣1＜2，解得：m＜3；

②當點A在x軸的負半軸上時，

則1﹣m＜2，解得：m＞﹣1，

又∵點C不與原點O重合，

∴m 2﹣1≠0，m≠±1，

∴﹣1＜m＜3且 m≠1.