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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】 在正方形ABCD中.

          1)如圖1,點E、F分別在BCCD上,AE、BF相交于點O,∠AOB=90°,試判斷AEBF的數量關系,并說明理由;

          2)如圖2,點E、FG、H分別在邊BC、CD、DAAB上,EG、FH相交于點O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的長;

          3)如圖3,點E、F分別在BCCD上,AEBF相交于點O,∠AOB=90°,若AB=5,圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為45,求△ABO的周長.

          【答案】1AE=BF,理由見解析;(2FH=7;(3)△AOB的周長為5+

          【解析】

          1)由四邊形ABCD是正方形可得AB=BC,∠ABE=BCF=90°,根據余角的性質可得∠BAO=CBF,然后根據ASA可證△ABE≌△BCF,進而可得結論;

          2)如圖4,作輔助線,構建平行四邊形AMEG和平行四邊形BNFH,得AM=GE,BN=FH,由(1)題的結論知△ABM≌△BCN,進而可得FH的長;

          3)根據正方形的面積和陰影部分的面積可得:空白部分的面積為2520=5,易得△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等,設AO=a,BO=b,則易得ab=5,根據勾股定理得:a2+b2=52,然后根據完全平方公式即可求出a+b,進一步即得結果.

          解:(1AE=BF,理由是:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,

          AB=BC,∠ABE=BCF=90°,

          ∵∠AOB=90°,∴∠BAO+ABO=90°

          又∵∠CBF+ABO=90°,∴∠BAO=CBF,

          ∴△ABE≌△BCFASA).

          AE=BF;

          2)在圖2中,過點AAMGEBCM,過點BBNFHCDN,AMBN交于點O′,如圖4,則四邊形AMEG和四邊形BNFH均為平行四邊形,

          AM=GEBN=FH,

          ∵∠GOH=90°,AMGEBNFH,∴∠AO′B=90°,

          由(1)得,△ABM≌△BCN,∴AM=BN,

          FH=GE=7;

          3)如圖3,∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為45

          ∴陰影部分的面積為×25=20,∴空白部分的面積為2520=5,

          由(1)得,△ABE≌△BCF

          ∴△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等,均為×5=

          AO=a,BO=b,則ab=,即ab=5

          RtAOB中,∠AOB=90°,∴a2+b2=52

          a2+2ab+b2=25+10=35,即,

          a+b=,即AO+BO=

          ∴△AOB的周長為5+

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          ②猜想:∠D的度數是否隨A,B的移動發(fā)生變化?并說明理由。

          (2)如圖2,∠MON=α(0°<α<180°)”,ABC=ABN,BAD=BAO,其余條件不變,則∠D=___°(用含α、n的代數式表示)

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          頻數

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          38

          0.38

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