Question

已知關(guān)于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0①的兩實(shí)根的乘積等于1．
（1）求證：關(guān)于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）方程②有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)方程②的兩根的平方和等于兩根積的2倍時(shí)，它的兩個根恰為△ABC的兩邊長，若△ABC的三邊都是整數(shù)，試判斷它的形狀．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)殛P(guān)于x的方程m²x²+（2m+3）x+1=0有兩個兩實(shí)根，所以它是一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義得出m≠0，又因?yàn)榇硕��?shí)根的乘積等于1，由根與系數(shù)的關(guān)系得出

1

m2

=1，解這個分式方程，求出m的值，再代入方程①檢驗(yàn)，確定m的值，然后把m的值代入方程②，證明方程②中的判別式△≥0即可；
（2）設(shè)x₁、x₂是方程②的兩根，由已知條件兩根的平方和等于兩根積的2倍得出x₁²+x₂²=2x₁x₂①，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=

2(k-1)

k-2

②，x₁•x₂=

k+1

k-2

③．變形①式，可得x₁=x₂④，把④式分別代入②③，建立關(guān)于k的方程，求出k的值，再由三角形三邊關(guān)系定理及已知條件確定第三邊的長度，進(jìn)而判斷三角形的形狀．

解答：證明：（1）∵方程①兩實(shí)根乘積等于1，
∴m≠0，

1

m2

=1，m=±1，
經(jīng)檢驗(yàn)m=±1是方程的根．
當(dāng)m=1時(shí)，x²+5x+1=0，符合題意．
m=-1時(shí)，x²+x+1=0，△=1-4＜0．
∴m=-1舍去，
∴m=1．
把m=1代入方程②，得（k-2）x²-2（k-1）x+（k+1）=0（k≤3）．
當(dāng)k=2時(shí)，方程②為一元一次方程，-2x+3=0，x=

3

2

，有實(shí)根；
當(dāng)k≤3且k≠2時(shí)，方程②為一元二次方程，（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，
∵△=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=4（k²-2k+1）-4（k²-k-2）=-4k+12，
又∵k≤3，
∴-4k≥-12，
∴-4k+12≥0，
∴方程②有實(shí)根．
綜上，可知關(guān)于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）有實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁、x₂是方程②的兩根，由題意，得
x₁²+x₂²=2x₁x₂①，x₁+x₂=

2(k-1)

k-2

②，x₁•x₂=

k+1

k-2

③，
由①得x₁²+x₂²-2x₁x₂=0，
∴（x₁-x₂）²=0，
∴x₁=x₂④．
把④式代入②，得2x₁=

2(k-1)

k-2

，∴x₁=

k-1

k-2

，
把④式代入③，得x₁²=

k+1

k-2

，
∴(

k-1

k-2

)2=

k+1

k-2

，k≠2，(k-1)2=(k+1)(k-2)，
∴k=3．
當(dāng)k=3時(shí)，x₁=x₂=2．
∵△ABC三邊均為整數(shù)，
∴設(shè)第三邊為n，則2-2＜n＜2+2，
∴0＜n＜4．
∵n是整數(shù)，
∴n=1，2，3．
當(dāng)n=2時(shí)，△ABC為等邊三角形．
當(dāng)n=1或3時(shí)，△ABC為等腰三角形，其中n=1時(shí)，是等腰銳角三角形；n=3時(shí)，是等腰鈍角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，一元一次方程、分式方程的解法，三角形三邊關(guān)系定理及三角形的分類，綜合性較強(qiáng)，難度中等．