Question

（2013•鼓樓區(qū)一模）問題提出：
規(guī)定：四條邊對應(yīng)相等，四個角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等．
我們借助學(xué)習(xí)“三角形全等的判定”獲得的經(jīng)驗與方法對“全等四邊形的判定”進行探究．
初步思考：
在兩個四邊形中，我們把“一條邊對應(yīng)相等”或“一個角對應(yīng)相等”稱為一個條件．滿足4個條件的兩個四邊形不一定全等，如邊長相等的正方形與菱形就不一定全等．類似地，我們?nèi)菀字�道兩個四邊形全等至少需要5個條件．
深入探究：
小莉所在學(xué)習(xí)小組進行了研究，她們認為5個條件可分為以下四種類型：
Ⅰ一條邊和四個角對應(yīng)相等；Ⅱ二條邊和三個角對應(yīng)相等；
Ⅲ三條邊和二個角對應(yīng)相等；Ⅳ四條邊和一個角對應(yīng)相等．
（1）小明認為“Ⅰ一條邊和四個角對應(yīng)相等”的兩個四邊形不一定全等，請你舉例說明．
（2）小紅認為“Ⅳ四條邊和一個角對應(yīng)相等”的兩個四邊形全等，請你結(jié)合下圖進行證明．
已知：如圖，

四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．

．
求證：

四邊形ABCD≌四邊形A₁B₁C₁D₁

．
證明：

（3）小剛認為還可以對“Ⅱ二條邊和三個角對應(yīng)相等”進一步分類，他以四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁為例，分為以下幾類：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四邊形ABCD和四邊形A₁B₁C₁D₁全等的是

①②③

（填序號），概括可得“全等四邊形的判定方法”，這個判定方法是

有一組鄰邊和三個角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等

．
（4）小亮經(jīng)過思考認為也可以對“Ⅲ三條邊和二個角對應(yīng)相等”進一步分類，請你仿照小剛的方法先進行分類，再概括得出一個全等四邊形的判定方法．

Answer 1

分析：（1）可以利用正方形與矩形進行說明；
（2）根據(jù)四條邊對應(yīng)相等，和一個角對應(yīng)相等，結(jié)合圖形即可寫出已知與求證．證明時可以連接AC、A₁ C₁，轉(zhuǎn)化為證明△ABC≌△A₁ B₁ C₁，和△AC D≌△A₁ B₁ C₁．即可征得；
（3）根據(jù)條件能證明△ABC≌△A₁ B₁ C₁，和△AC D≌△A₁ B₁ C₁，的條件．
（4）寫出三條邊對應(yīng)相等，和二個角對應(yīng)相等分情況進行討論即可．

解答：解：（1）如正方形與矩形有一條邊對應(yīng)相等，但顯然不一定全等． 

（2）已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁ B₁，BC=B₁ C₁，CD=C₁ D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求證：四邊形ABCD≌四邊形A₁ B₁ C₁ D₁．
證明：連接AC、A₁ C₁．
∵AB=A₁ B₁，∠B=∠B₁，BC=B₁ C₁，
∴△ABC≌△A₁ B₁ C₁．
∴AC=A₁ C₁，∠BAC=∠B₁ A₁ C₁，
∠BCA=∠B₁ C₁A₁．
又∵CD=C₁ D₁，DA=D₁A₁，
∴△AC D≌△A₁ B₁ C₁．
∴∠D=∠D₁．
∴∠BAD=∠B₁ A₁ D₁，∠BCD=∠B₁ C₁ D₁．
∴四邊形ABCD≌四邊形A₁ B₁ C₁ D₁

（3）①②③；   
有一組鄰邊和三個角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等．

（4）分為四類：
①AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；
②AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；
③AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
有三條邊和這三條邊中每一組鄰邊的夾角對應(yīng)相等的兩個四邊形全等．

點評：本題考查了多邊形的全等，多邊形的全等可以通過作輔助線轉(zhuǎn)化為證明三角形全等問題．