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        1. 【題目】如圖所示,點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn),射線AB垂直于MN,垂足為A,半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)過的角度記作a;設(shè)半圓O的半徑為R,AM的長度為m,回答下列問題:

          探究:(1)若R=2,m=1,如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí),圓心O′到射線AB的距離是   ;如圖2,當(dāng)a=   °時(shí),半圓O與射線AB相切;

          (2)如圖3,在(1)的條件下,為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切,在保持線段AM長度不變的條件下,調(diào)整半徑R的大小,請(qǐng)你求出滿足要求的R,并說明理由.

          (3)發(fā)現(xiàn):(3)如圖4,在0°<α<90°時(shí),為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切,小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系,請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系;

          cosα=   (用含有R、m的代數(shù)式表示)

          拓展:(4)如圖5,若R=m,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是   ,并求出在這個(gè)變化過程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示)

          【答案】(1) +1;60°;(2)4+2;(3) ;(4) m2

          【解析】試題分析:(1)如圖1中,作O′EABE,MFOEF.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.如圖2中,設(shè)切點(diǎn)為F,連接O′F,作O′EOAE,則四邊形O′EAF是矩形,在RtOEM中,由sinα=,推出α=60°.
          (2)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQOP,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題.
          (3)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQOP,則四邊形APQM是矩形.列出方程即可解決問題、
          (4)當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)α=90°;當(dāng)N′落在AB上時(shí),為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,此時(shí)∵MN=2AM,所以∠AMN=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是:90°<α≤120°.當(dāng)N′落在AB上時(shí),陰影部分面積最大,求出此時(shí)的面積即可.

          試題解析:(1)如圖1中,作O′E⊥AB于E,MF⊥O′E于F.則四邊形AMFE是矩形,EF=AM=1.想辦法求出O′E的長即可.

          在Rt△MFO′中,∵∠MOF=30°,MO′=2,

          ∴O′F=O′Mcos30°=,O′E=+1,

          ∴點(diǎn)O′到AB的距離為+1.

          如圖2中,設(shè)切點(diǎn)為F,連接O′F,作O′E⊥OA于E,則四邊形O′EAF是矩形,

          ∴AE=O′F=2,

          ∵AM=1,

          ∴EM=1,

          在Rt△O′EM中,sinα= ,

          ∴α=60°

          故答案為 +1,60°.

          (2)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.

          ∵O′P=R,

          ∴R= R+1,

          ∴R=4+2

          (3)設(shè)切點(diǎn)為P,連接O′P,作MQ⊥O′P,則四邊形APQM是矩形.

          在Rt△O′QM中,O′Q=Rcosα,QP=m,

          ∵O′P=R,

          ∴Rcosα+m=R,

          ∴cosα=

          故答案為

          (4)如圖5中,

          當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)α=90°;當(dāng)N′落在AB上時(shí),為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是:90°<α≤120°

          故答案為90°<α≤120°;

          當(dāng)N′落在AB上時(shí),陰影部分面積最大,

          所以S═ m m= m2

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          ②當(dāng)0<x≤2時(shí),y;當(dāng)2<x≤6時(shí),y;
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