Question

問題：你能比較兩個數(shù)2012²⁰¹³和2013²⁰¹²的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是自然數(shù)），然后我們從分析n=1，n=2，n=3，…這些簡
單情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大�。�
①1²

＜

2¹
②2³

＜

3²
③3⁴

＞

4³
④4⁵

＞

5⁴
⑤5⁶

＞

6⁵ 
⑥6⁷

＞

7⁶
…
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ（n≥3）的大小關(guān)系式是

nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較兩個數(shù)的大�。�2012²⁰¹³

＞

2013²⁰¹²（填”＞”，”＜”，“=”）

Answer 1

分析：（1）利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則得出即可；
（2）利用（1）中所求得出變化規(guī)律，進(jìn)而得出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ（n≥3）的大小關(guān)系；
（3）利用（1）中所求得出變化規(guī)律，進(jìn)而得出2012²⁰¹³和2013²⁰¹²的大小關(guān)系．

解答：解：（1）通過計算得：①1²＜2¹
②2³＜3²
③3⁴＞4³
④4⁵＞5⁴
⑤5⁶＞6⁵ 
⑥6⁷＞7⁶
…
故答案為：①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞；⑥＞；

（2）由（1）得出：nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）；
故答案為：nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較兩個數(shù)的大�。�
2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．
故答案為：＞．

點評：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．