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        1. 如圖,已知直線y=x與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交于點(diǎn)A、O,(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),OA=數(shù)學(xué)公式,AP的中點(diǎn)為B.
          (1)求二次函數(shù)的解析式;
          (2)求線段OB的長;
          (3)若射線OB上存在點(diǎn)Q,使得△AOQ與△AOP相似,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

          解:(1)∵點(diǎn)A在直線y=x上,且OA=3,
          ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,3,)
          ∵點(diǎn)O(0,0),A(3,3)在函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上,
          ,
          解得:,
          故二次函數(shù)的解析式是y=x2-2x;

          (2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,
          ∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1)
          ∴PO==,AP=2
          ∴AO2+PO2=AP2,
          ∴∠AOP=90°,
          ∴△AOP是直角三角形,
          ∵B為AP的中點(diǎn),
          ∴OB=;

          (3)∵∠AOP=90°,B為AP的中點(diǎn),
          ∴OB=AB,
          ∴∠AOB=∠OAB,
          若△AOQ與△AOP相似,
          則①△AOP∽△OQA時,
          ,
          ∴OQ1=
          ②△AOP∽△OAQ時,

          ∴OQ2=2,
          ∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),
          ∴Q1,),Q2(4,2)
          即點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是Q1,),Q2(4,2).
          分析:(1)由點(diǎn)A在直線y=x上,可知A的橫縱坐標(biāo)相等,又因?yàn)镺A=3,所以可以求出A的坐標(biāo),再把O和A的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,求出b和c的值即可求出函數(shù)的解析式;
          (2)用配方法求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo),再利用勾股定理求出OP的長和AP的長,利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形狀,進(jìn)而求出OB的長;
          (3)若△AOQ與△AOP相似,則①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式,求出滿足題意的OQ值即可.
          點(diǎn)評:本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理以及逆定理的運(yùn)用以及相似三角形的判定和性質(zhì),解題時也要注意分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用,題目的綜合性很強(qiáng),難度中等.
          練習(xí)冊系列答案
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          相等
          ,判斷的依據(jù)是
          等角的補(bǔ)角相等
          ;
          (2)若∠COF=35°,求∠BOD的度數(shù).

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          精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l1y=
          2
          3
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          8
          3
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