Question

【題目】已知，拋物線y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m（m是常數）．

（Ⅰ）當m＝1時，求該拋物線與x軸的公共點的坐標；

（Ⅱ）拋物線與x軸相交于不同的兩點A，B．

①求m的取值范圍；

②無論m取何值，該拋物線都經過非坐標軸上的定點P，當＜m≤8時，求△PAB面積的最大值，并求出相對應的m的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）或（2，0）；（2）①m≠0且m≠；②

【解析】

（1）把m＝1，y＝0代入拋物線可得x2﹣x﹣2＝0，然后解這個一元二次方程即可；

（2）①根據題意得出△=（1-2m）2-4×m×（1-3m）=（1-4m）2＞0，得出1-4m≠0，解不等式即可；

②y=m（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與m無關，解得x=3或x=-1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|-4|，由已知條件得出≤＜4，得出0＜|-4|≤，因此|AB|最大時，|-4|=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出結果．

解：（Ⅰ）把m＝1，y＝0代入拋物線可得x2﹣x﹣2＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝2，

故該拋物線與x軸的公共點的坐標為（﹣1，0）或（2，0）；

（Ⅱ）①當m＝0時，函數為一次函數，不符合題意，舍去；

當m≠0時，

∵拋物線y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B，

∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0，

∴1﹣4m≠0，

∴m≠，

∴m的取值范圍為m≠0且m≠；

②|AB|＝|xA﹣xB|＝＝＝＝＝||＝|﹣4|，

∵＜m≤8，

∴≤＜4，

∴﹣≤﹣4＜0，

∴0＜|﹣4|≤，

∴|AB|最大時，||＝，

解得：m＝8，或m＝（舍去），

∴當m＝8時，|AB|有最大值，

此時△ABP的面積最大，沒有最小值，

則面積最大為： |AB|yP＝××4＝．