【題目】如圖,以點(diǎn)為圓心的圓,交
軸于
,
兩點(diǎn)(點(diǎn)
在點(diǎn)
的左側(cè)),交
軸于
,
兩點(diǎn)(點(diǎn)
在點(diǎn)
的下方),
,將
繞點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)180,得到
.
(1)求,
兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出線段,
,并判斷四邊形
的形狀(不必證明),求出點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)動(dòng)直線從與
重合的位置開(kāi)始繞點(diǎn)
順時(shí)針旋轉(zhuǎn),到與
重合時(shí)停止,設(shè)直線
與
的交點(diǎn)為
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作
于點(diǎn)
,連接
,
.問(wèn):在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,
的大小是否變化?若不變,求出
的度數(shù);若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)、
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,0)(1,0);(2)
是平行四邊形,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
;(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,
的大小不變,始終等于120°.
【解析】
(1)連接PA,運(yùn)用垂徑定理及勾股定理即可求出圓的半徑,從而可以求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)由于⊙P是中心對(duì)稱圖形,顯然射線AP與⊙P的交點(diǎn)就是所需畫(huà)的點(diǎn)M,連接MB、MC即可;易證四邊形ACMB是矩形;過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC,垂足為H,易證△MHP≌△AOP,從而求出MH、OH的長(zhǎng),進(jìn)而得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)易證點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,從而得到∠MQG=2∠MBG.易得∠OCA=60°,從而得到∠MBG=60°,進(jìn)而得到∠MQG=120°,所以∠MQG是定值.
(1)連接PA,如圖1所示.
∵PO⊥AD,
∴AO=DO.
∵AD=2 ,
∴OA=.
∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1,0),
∴OP=1.
∴PA==2.
∴BP=CP=2.
∴B(-3,0),C(1,0).
(2)連接AP,延長(zhǎng)AP交⊙P于點(diǎn)M,連接MB、MC.
如圖2所示,線段MB、MC即為所求作.
四邊形ACMB是矩形.
理由如下:
∵△MCB由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°所得,
∴四邊形ACMB是平行四邊形.
∵BC是⊙P的直徑,
∴∠CAB=90°.
∴平行四邊形ACMB是矩形.
過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC,垂足為H,如圖2所示.
在△MHP和△AOP中,
∵∠MHP=∠AOP,∠HPM=∠OPA,MP=AP,
∴△MHP≌△AOP.
∴MH=OA=,PH=PO=1.
∴OH=2.
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,).
(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變.
∵四邊形ACMB是矩形,
∴∠BMC=90°.
∵EG⊥BO,
∴∠BGE=90°.
∴∠BMC=∠BGE=90°.
∵點(diǎn)Q是BE的中點(diǎn),
∴QM=QE=QB=QG.
∴點(diǎn)E、M、B、G在以點(diǎn)Q為圓心,QB為半徑的圓上,如圖3所示.
∴∠MQG=2∠MBG.
∵∠COA=90°,OC=1,OA=,
∴tan∠OCA=,
∴∠OCA=60°.
∴∠MBC=∠BCA=60°.
∴∠MQG=120°.
∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠MQG的大小不變,始終等于120°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系上,已知點(diǎn)A(8,4),AB⊥y軸于B,AC⊥x軸于C,直線y=x交AB于D.
(1)直接寫(xiě)出B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若E為OD延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),記點(diǎn)E橫坐標(biāo)為a,△BCE的面積為S,求S與a的關(guān)系式;
(3)當(dāng)S=20時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F,G、H分別為AC、CB上動(dòng)點(diǎn),求FG+GH的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)坐標(biāo)
,且
,
滿足
(1)如圖(1)當(dāng)為等腰直角三角形時(shí);
①點(diǎn)坐標(biāo)為__________;點(diǎn)
坐標(biāo)為__________.
②在(1)的條件下,分別以和
為邊作等邊
和等邊
,連結(jié)
,求
的度數(shù).
(2)如圖(2),過(guò)點(diǎn)作
軸于點(diǎn)
,點(diǎn)
為
軸正半軸上一點(diǎn),
為
延長(zhǎng)線上一點(diǎn),以
為直角邊作等腰直角三角形
,
,過(guò)點(diǎn)
作
軸交
于點(diǎn)
,連結(jié)
,求證:
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,
,
,點(diǎn)
在邊
上,以點(diǎn)
為圓心作⊙
.當(dāng)⊙
恰好同時(shí)與邊
,
相切時(shí),⊙
的半徑長(zhǎng)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B(a,b)是第一象限內(nèi)一點(diǎn),且a、b滿足等式a2-6a+9+|b-1|=0.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖,動(dòng)點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)出發(fā),沿y軸的正半軸方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),△ABC是AB為斜邊的等腰直角三角形;
(3)如圖,在(2)的條件下,作∠ABC的平分線BD,設(shè)BD的長(zhǎng)為m,△ADB的面積為S.請(qǐng)用含m的式子表示S.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年
月1日是中華人民共和國(guó)成立
周年紀(jì)念日,某商家用
元購(gòu)進(jìn)了一批紀(jì)念衫,上市后果然供不應(yīng)求,商家又用
元購(gòu)進(jìn)了第二批這種紀(jì)念衫,所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的
倍,但每件貴了
元.
(1)該商家購(gòu)進(jìn)的第一批紀(jì)念衫單價(jià)是多少元?
(2)若兩批紀(jì)念衫按相同的標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售,最后剩下件按標(biāo)價(jià)八折優(yōu)惠賣(mài)出,如果兩批紀(jì)念衫全部售完利潤(rùn)不低于
元(不考慮其他因素),那么每件紀(jì)念衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(),在四邊形
中,
,
,
,
,
分別是
,
上的點(diǎn),且
.探究圖中線段
,
,
之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是,延長(zhǎng)
到點(diǎn)
,使
,連接
,先證明
≌
,再證明
≌
,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應(yīng)該是__________.
如圖(),若在四邊形
中,
,
,
,
分別是
,
上的點(diǎn),且
,上述結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校決定在4月7日開(kāi)展“世界無(wú)煙日”宣傳活動(dòng),活動(dòng)有A.社區(qū)板報(bào)、B.集會(huì)演講、C.喇叭廣播、D.發(fā)宣傳畫(huà)四種宣傳方式.學(xué)校圍繞“你最喜歡的宣傳方式是什么?”在全校學(xué)生中進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查(四個(gè)選項(xiàng)中必選且只選一項(xiàng)),根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果,繪制了如下兩種不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表,回答下列問(wèn)題:
(1)本次抽查的學(xué)生共______人,m=____________,并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若該校學(xué)生有1500人,請(qǐng)你估計(jì)該校喜歡“集會(huì)演講”這項(xiàng)宣傳方式的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校采用抽簽方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳方式中隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行展示,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求某班所抽到的兩種方式恰好是“集會(huì)演講”和“喇叭廣播”的概率.
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