Question

（2012•西湖區(qū)一模）如圖，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°．O是AB的中點(diǎn)，⊙O與AC，BC分別相切于點(diǎn)D與點(diǎn)E．點(diǎn)F是⊙O與AB的一個(gè)交點(diǎn)，連DF并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．則∠CDG=

67.5°

，若AB=4

2

，則BG=

2

2

-2

．

Answer 1

分析：連接OD，由AC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD與AC垂直，又AC=BC，且∠C=90°，得到三角形ABC為等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC中，由AC與BC的長(zhǎng)，根據(jù)AB的長(zhǎng)，又O為AB的中點(diǎn)，從而得到AO等于BO都等于AB的一半，求出AO與BO的長(zhǎng)，再由OB-OF求出FB的長(zhǎng)，同時(shí)由OD和GC都與AC垂直，得到OD與GC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再加上對(duì)頂角相等，由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ODF與三角形GBF相似，由相似得比例，把OD，OF及FB的長(zhǎng)代入即可求出GB的長(zhǎng)．

解答：解：連接OD．
∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=

1

2

∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°．
∵AC為圓O的切線，
∴OD⊥AC，
又O為AB的中點(diǎn)，∴AO=BO=

1

2

AB=2

2

，
∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2

2

×

2

2

=2，
∴BF=OB-OF=2

2

-2．
∵GC⊥AC，OD⊥AC，
∴OD∥CG，
∴∠ODF=∠G，又∠OFD=∠BFG，
∴△ODF∽△BGF，
∴

OD

BG

=

OF

BF

，即

2

BG

=

2

2 2 -2

，
∴BG=2

2

-2．
故答案為：67.5°，2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切圓的綜合知識(shí)．在運(yùn)用切線的性質(zhì)時(shí)，若已知切點(diǎn)，連接切點(diǎn)和圓心，得垂直；若不知切點(diǎn)，則過(guò)圓心向切線作垂直，即“知切點(diǎn)連半徑，無(wú)切點(diǎn)作垂直”．圓與相似三角形，及三角函數(shù)相融合的解答題、與切線有關(guān)的性質(zhì)與判定有關(guān)的證明題是近幾年中考的熱點(diǎn)，故要求學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融匯貫穿，靈活運(yùn)用．