Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度數(shù)．

分析：根據(jù)已知條件比較分散的特點(diǎn)，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連結(jié)PP′，這時(shí)再分別求出∠BP′P和∠AP′P的度數(shù)．

解答：（1）請(qǐng)你根據(jù)以上分析再通過計(jì)算求出圖2中∠BPC的度數(shù)；

（2）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=4，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）120°.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=90°，BP′=BP=2 ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，則△BPP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′= ，PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，則∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；（2）把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，則∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH= BP′=2，P′H= BH=2 ，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°.

試題解析：

（1）如圖2．

∵△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=90°，BP′=BP=2 ，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，

∴△BPP′為等腰直角三角形，

∴PP′=

PB=2，∠BP′P=45°，

在△APP′中，AP=3

，PP′=2，AP′=1，

∵32=（2）2+12，

∴AP2=PP′2+AP′2，

∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°

∴∠BP′A=45°+90°=135°，

∴∠BPC=∠BP′A=135°；

（2）如圖3．

∵六邊形ABCDEF為正六邊形，

∴∠ABC=120°，

把△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，

∴∠BP′P=∠BPP′=30°，

過B作BH⊥PP′于H，

∵BP′=BP，

∴P′H=PH，

在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，

∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，

∴P′P=2P′H=4，

在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，

∵（2）2=（4）2+22，

∴AP2=PP′2+AP′2，

∴△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°，

∴∠BP′A=30°+90°=120°，

∴∠BPC=120°．