Question

（2013•泉州）如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A（-6，0），過點E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的長；
（2）過點F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點H、G；
①根據(jù)上述語句，在圖1上畫出圖形，并證明

OH

BG

=

EO

AE

；
②過點G作直線GD∥AB，交x軸于點D，以圓O為圓心，OH長為半徑在x軸上方作半圓（包括直徑兩端點），使它與GD有公共點P．如圖2所示，當直線l繞點F旋轉時，點P也隨之運動，證明：

OP

BG

=

1

2

，并通過操作、觀察，直接寫出BG長度的取值范圍（不必說理）；
（3）在（2）中，若點M（2，

3

），探索2PO+PM的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形與平行線的性質(zhì)，易求線段EF的長度．
（2）①首先依題意畫出圖形，如答圖1所示．證明△OFH∽△BFG，得

OH

BG

=

OF

BF

；由EF∥AB，得

OF

BF

=

EO

AE

．所以

OH

BG

=

EO

AE

；
②由OP=OH，則問題轉化為證明

OH

BG

=

1

2

．根據(jù)①中的結論，易得

OH

BG

=

EO

AE

=

1

2

，故問題得證．
（3）本問為探究型問題，利用線段性質(zhì)（兩點之間線段最短）解決．如答圖2所示，構造矩形，將2PO+PM轉化為NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得當點P在線段MN上時，2OP+PM的值最小，最小值為8．

解答：（1）解：解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=

1

2

∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴

EF

AB

=

OE

OA

，即

EF

6

=

2

6

，
∴EF=6×

2

6

=2．

（2）①畫圖，如答圖1所示：

證明：∵四邊形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴

OH

BG

=

OF

BF

；
∵EF∥AB，
∴

OF

BF

=

EO

AE

；
∴

OH

BG

=

EO

AE

．
②證明：∵半圓與GD交于點P，
∴OP=OH．
由①得：

OP

BG

=

OH

BG

=

EO

EA

，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴

OP

BG

=

EO

EA

=

1

2

．
通過操作、觀察可得，4≤BG≤12．

（3）解：由（2）可得：

OP

BG

=

1

2

，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答圖2所示，過點M作直線MN⊥AB于點N，交GD于點K，則四邊形BNKG為矩形，
∴NK=BG．

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
當點P與點K重合，即當點P在直線MN上時，等號成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
當點K在線段MN上時，等號成立．
∴當點P在線段MN上時，2OP+PM的值最小，最小值為8．

點評：本題是幾何綜合題，主要考查了相似三角形與圓的相關知識．圖中線段較多，注意理清關系．第（1）（2）問考查幾何基礎知識，難度不大；第（3）問考查幾何最值問題，有一定的難度．需要注意的是：線段的性質(zhì)（兩點之間線段最短）是初中數(shù)學常見的最值問題的基礎，典型的展開圖-最短路線問題、軸對稱-最短路線問題，均是利用這一性質(zhì)，希望同學們能夠舉一反三、觸類旁通．