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        1. (2013•泉州)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)A(-6,0),過(guò)點(diǎn)E(-2,0)作EF∥AB,交BO于F;
          (1)求EF的長(zhǎng);
          (2)過(guò)點(diǎn)F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點(diǎn)H、G;
          ①根據(jù)上述語(yǔ)句,在圖1上畫(huà)出圖形,并證明
          OH
          BG
          =
          EO
          AE

          ②過(guò)點(diǎn)G作直線GD∥AB,交x軸于點(diǎn)D,以圓O為圓心,OH長(zhǎng)為半徑在x軸上方作半圓(包括直徑兩端點(diǎn)),使它與GD有公共點(diǎn)P.如圖2所示,當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),證明:
          OP
          BG
          =
          1
          2
          ,并通過(guò)操作、觀察,直接寫(xiě)出BG長(zhǎng)度的取值范圍(不必說(shuō)理);
          (3)在(2)中,若點(diǎn)M(2,
          3
          ),探索2PO+PM的最小值.
          分析:(1)利用正方形與平行線的性質(zhì),易求線段EF的長(zhǎng)度.
          (2)①首先依題意畫(huà)出圖形,如答圖1所示.證明△OFH∽△BFG,得
          OH
          BG
          =
          OF
          BF
          ;由EF∥AB,得
          OF
          BF
          =
          EO
          AE
          .所以
          OH
          BG
          =
          EO
          AE

          ②由OP=OH,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明
          OH
          BG
          =
          1
          2
          .根據(jù)①中的結(jié)論,易得
          OH
          BG
          =
          EO
          AE
          =
          1
          2
          ,故問(wèn)題得證.
          (3)本問(wèn)為探究型問(wèn)題,利用線段性質(zhì)(兩點(diǎn)之間線段最短)解決.如答圖2所示,構(gòu)造矩形,將2PO+PM轉(zhuǎn)化為NK+PM,由NK+PM≥NK+KM,NK+KM≥MN=8,可得當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí),2OP+PM的值最小,最小值為8.
          解答:(1)解:解法一:在正方形OABC中,
          ∠FOE=∠BOA=
          1
          2
          ∠COA=45°.
          ∵EF∥AB,
          ∴∠FEO=∠BAO=90°,
          ∴∠EFO=∠FOE=45°,
          又E(-2,0),
          ∴EF=EO=2.
          解法二:∵A(-6,0),C(0,6),E(-2,0),
          ∴OA=AB=6,EO=2,
          ∵EF∥AB,
          EF
          AB
          =
          OE
          OA
          ,即
          EF
          6
          =
          2
          6
          ,
          ∴EF=6×
          2
          6
          =2.

          (2)①畫(huà)圖,如答圖1所示:

          證明:∵四邊形OABC是正方形,
          ∴OH∥BC,
          ∴△OFH∽△BFG,
          OH
          BG
          =
          OF
          BF
          ;
          ∵EF∥AB,
          OF
          BF
          =
          EO
          AE

          OH
          BG
          =
          EO
          AE

          ②證明:∵半圓與GD交于點(diǎn)P,
          ∴OP=OH.
          由①得:
          OP
          BG
          =
          OH
          BG
          =
          EO
          EA

          又EO=2,EA=OA-EO=6-2=4,
          OP
          BG
          =
          EO
          EA
          =
          1
          2

          通過(guò)操作、觀察可得,4≤BG≤12.

          (3)解:由(2)可得:
          OP
          BG
          =
          1
          2
          ,
          ∴2OP+PM=BG+PM.
          如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)M作直線MN⊥AB于點(diǎn)N,交GD于點(diǎn)K,則四邊形BNKG為矩形,
          ∴NK=BG.

          ∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM,
          當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合,即當(dāng)點(diǎn)P在直線MN上時(shí),等號(hào)成立.
          又∵NK+KM≥MN=8,
          當(dāng)點(diǎn)K在線段MN上時(shí),等號(hào)成立.
          ∴當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí),2OP+PM的值最小,最小值為8.
          點(diǎn)評(píng):本題是幾何綜合題,主要考查了相似三角形與圓的相關(guān)知識(shí).圖中線段較多,注意理清關(guān)系.第(1)(2)問(wèn)考查幾何基礎(chǔ)知識(shí),難度不大;第(3)問(wèn)考查幾何最值問(wèn)題,有一定的難度.需要注意的是:線段的性質(zhì)(兩點(diǎn)之間線段最短)是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的最值問(wèn)題的基礎(chǔ),典型的展開(kāi)圖-最短路線問(wèn)題、軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,均是利用這一性質(zhì),希望同學(xué)們能夠舉一反三、觸類(lèi)旁通.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2013•泉州)如圖,∠AOB=70°,QC⊥OA于C,QD⊥OB于D,若QC=QD,則∠AOQ=
          35
          35
          °.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•泉州)如圖,菱形ABCD的周長(zhǎng)為8
          5
          ,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,AC:BD=1:2,則AO:BO=
          1:2
          1:2
          ,菱形ABCD的面積S=
          16
          16

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•泉州)如圖,直線y=-
          3
          x+2
          3
          分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)A(-2,0),P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn).
          (1)求∠ABC的大。
          (2)求點(diǎn)P的坐標(biāo),使∠APO=30°;
          (3)在坐標(biāo)平面內(nèi),平移直線BC,試探索:當(dāng)BC在不同位置時(shí),使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變?若不變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)?若改變,指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•泉州)如圖,∠AOB=90°,∠BOC=30°,則∠AOC=
          60
          60
          °.

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