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        1. (2013•泉州)如圖1,在平面直角坐標系中,正方形OABC的頂點A(-6,0),過點E(-2,0)作EF∥AB,交BO于F;
          (1)求EF的長;
          (2)過點F作直線l分別與直線AO、直線BC交于點H、G;
          ①根據(jù)上述語句,在圖1上畫出圖形,并證明
          OH
          BG
          =
          EO
          AE
          ;
          ②過點G作直線GD∥AB,交x軸于點D,以圓O為圓心,OH長為半徑在x軸上方作半圓(包括直徑兩端點),使它與GD有公共點P.如圖2所示,當直線l繞點F旋轉時,點P也隨之運動,證明:
          OP
          BG
          =
          1
          2
          ,并通過操作、觀察,直接寫出BG長度的取值范圍(不必說理);
          (3)在(2)中,若點M(2,
          3
          ),探索2PO+PM的最小值.
          分析:(1)利用正方形與平行線的性質(zhì),易求線段EF的長度.
          (2)①首先依題意畫出圖形,如答圖1所示.證明△OFH∽△BFG,得
          OH
          BG
          =
          OF
          BF
          ;由EF∥AB,得
          OF
          BF
          =
          EO
          AE
          .所以
          OH
          BG
          =
          EO
          AE
          ;
          ②由OP=OH,則問題轉化為證明
          OH
          BG
          =
          1
          2
          .根據(jù)①中的結論,易得
          OH
          BG
          =
          EO
          AE
          =
          1
          2
          ,故問題得證.
          (3)本問為探究型問題,利用線段性質(zhì)(兩點之間線段最短)解決.如答圖2所示,構造矩形,將2PO+PM轉化為NK+PM,由NK+PM≥NK+KM,NK+KM≥MN=8,可得當點P在線段MN上時,2OP+PM的值最小,最小值為8.
          解答:(1)解:解法一:在正方形OABC中,
          ∠FOE=∠BOA=
          1
          2
          ∠COA=45°.
          ∵EF∥AB,
          ∴∠FEO=∠BAO=90°,
          ∴∠EFO=∠FOE=45°,
          又E(-2,0),
          ∴EF=EO=2.
          解法二:∵A(-6,0),C(0,6),E(-2,0),
          ∴OA=AB=6,EO=2,
          ∵EF∥AB,
          EF
          AB
          =
          OE
          OA
          ,即
          EF
          6
          =
          2
          6
          ,
          ∴EF=6×
          2
          6
          =2.

          (2)①畫圖,如答圖1所示:

          證明:∵四邊形OABC是正方形,
          ∴OH∥BC,
          ∴△OFH∽△BFG,
          OH
          BG
          =
          OF
          BF
          ;
          ∵EF∥AB,
          OF
          BF
          =
          EO
          AE
          ;
          OH
          BG
          =
          EO
          AE

          ②證明:∵半圓與GD交于點P,
          ∴OP=OH.
          由①得:
          OP
          BG
          =
          OH
          BG
          =
          EO
          EA

          又EO=2,EA=OA-EO=6-2=4,
          OP
          BG
          =
          EO
          EA
          =
          1
          2

          通過操作、觀察可得,4≤BG≤12.

          (3)解:由(2)可得:
          OP
          BG
          =
          1
          2
          ,
          ∴2OP+PM=BG+PM.
          如答圖2所示,過點M作直線MN⊥AB于點N,交GD于點K,則四邊形BNKG為矩形,
          ∴NK=BG.

          ∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM,
          當點P與點K重合,即當點P在直線MN上時,等號成立.
          又∵NK+KM≥MN=8,
          當點K在線段MN上時,等號成立.
          ∴當點P在線段MN上時,2OP+PM的值最小,最小值為8.
          點評:本題是幾何綜合題,主要考查了相似三角形與圓的相關知識.圖中線段較多,注意理清關系.第(1)(2)問考查幾何基礎知識,難度不大;第(3)問考查幾何最值問題,有一定的難度.需要注意的是:線段的性質(zhì)(兩點之間線段最短)是初中數(shù)學常見的最值問題的基礎,典型的展開圖-最短路線問題、軸對稱-最短路線問題,均是利用這一性質(zhì),希望同學們能夠舉一反三、觸類旁通.
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