Question

如圖，過點(diǎn)P（2，

2

）作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)A，交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于點(diǎn)N，作PM⊥AN交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于點(diǎn)M，連接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）設(shè)直線MN解析式為y=ax+b，求不等式

k

x

≥ax+b的解集；
（3）試判斷△AMN的形狀？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

2

）得AP=2，又PN=4可得AN=6，即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，

2

），把N（6，

2

）代入y=

k

x

中，得k=6

2

．
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

2

）得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，又點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，

2

），再根據(jù)圖象可得0＜x≤2或x≥6．
（3）由點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3

2

）和點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

2

）得PM=2

2

．又PM⊥AN，AP=2，PN=4可得AM²+MN²=AN²，故△AMN是直角三角形．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

2

），
∴AP=2，OA=

2

．（1分）
∵PN=4，∴AN=6，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，

2

）．（2分）
把N（6，

2

）代入y=

k

x

中，得k=6

2

．（3分）

（2）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

2

），
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
又∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，

2

），
∴0＜x≤2或x≥6．（5分）

（3）∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，雙曲線為y=

6 2

x

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3

2

），
∴PM=2

2

．（6分）
∵PM⊥AN，AP=2，PN=4，
∴AM²=12，MN²=24，AN²=36，（7分）
∴AM²+MN²=AN²，
∴∠AMN=90°，即△AMN是直角三角形．（8分）

點(diǎn)評：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、直角三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．此題難度較大．