Question

如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，連接PO、AB相交于D，C是⊙O上一點，∠C=60°。
（1）求∠APB的大��；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面積。

Answer 1

解：（1）∵PA、PB分別切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB。∴∠PAO=∠PBO=90°。
∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°。
∴∠APB=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。
（2）∵PA、PB分別切⊙O于A、B，∴∠APO=∠APB=×60°=30°，PA=PB。
∴P在AB的垂直平分線上。
∵OA=OB，∴O在AB的垂直平分線上，即OP是AB的垂直平分線，
∴OD⊥AB，AD=BD=AB。
∵∠PAO=90°，∴∠AOP=60°。
在Rt△PAO中，AO=PO=×20=10，
在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×，OD=OA•cos60°=10×=5，
∴AB=2AD=，
∴△AOB的面積為：AB•OD=（cm²）。

（1）由PA、PB分別切⊙O于A、B，由切線的性質(zhì)，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圓周角定理，求得∠AOB的度數(shù)，繼而求得∠APB的大小。
（2）由切線長定理，可求得∠APO的度數(shù)，繼而求得∠AOP的度數(shù)，易得PO是AB的垂直平分線，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得AD與OD的長，從而求得答案。