Question

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì).只要善于觀察、樂于探索，我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.

（1）四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形（如圖①），其中相對的兩對三角形的面積之積相等.你能證明這個結(jié)論嗎？試試看.

已知：在四邊形ABCD中，O是對角線BD上任意一點（如圖①）；

求證：.

證明：

（2）在三角形中（如圖②），你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明;若不能，請說明理由.

 

Answer 1

見解析

【解析】分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式，應(yīng)分別過點A、C作AE⊥DB，交DB的延長線于點E，CF⊥BD于點F．然后根據(jù)三角形的面積公式分別計算要證明的等式的左邊和右邊即可；

（2）根據(jù)（1）中的思路，顯然可以歸納出：從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．證明思路類似．

（1）證明：如圖①，分別過點A、C，作AE⊥DB，交DB的延長線于點E，CF⊥BD于點F，

則有：，，，

，∴ ，

，∴ ．
（2）解:能．從三角形的一個頂點與對邊上任意一點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等，

或.

已知：在△ABC中，D為AC上一點，O為BD上一點，

求證：．

證明：如圖②，分別過點A、C，作AE⊥BD，交BD的延長線于點E，作CF⊥BD于點F，

則有：，，

，，

∴，

，

∴ ．