Question

已知關(guān)于x的方程x²+（2m-3）x+m²+6=0的兩根x₁，x₂的積是兩根和的兩倍，①求m的值；②求作以

1

x1

，

1

x2

為兩根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根求出m的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值，在m的取值范圍內(nèi)找出合適的值即可；
（2）求出

1

x1

+

1

x2

與

1

x1

•

1

x2

的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出所求方程．

解答：解：（1）∵原方程有兩實根
∴△=（2m-3）²-4（m²+6）=-12m-15≥0得m≤-

3

2

①…（3分）
∵x₁+x₂=-（2m-3）x₁x₂=m²+6…（4分）
又∵x₁x₂=2（x₁+x₂），
∴m²+6=-2（2m-3）
整理得m²+4m=0解得m=0或m=-4…（6分）
由①知m=-4…（7分）

（2）∵

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

-(2m-3)

m2+6

=

1

2

…（9分），

1

x1

.

1

x2

=

1

x1x2

=

1

m2+6

=

1

22

…（11分）
由韋達(dá)定理得所求方程為x2-

1

2

x+

1

22

=0…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，即x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．