Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．設(shè)P，Q分別為BD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P自點(diǎn)D沿DB方向作勻速移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q自點(diǎn)B沿BC方向向點(diǎn)C作勻速移動(dòng)，移動(dòng)的速度均為1cm/s，設(shè)P，Q移動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤4）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥BC？
（2）寫(xiě)出△PBQ的面積S（cm²）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由已知可以求出BD的值，因?yàn)镻Q⊥BC，所以△BPQ∽△BDC，根據(jù)三角形相似得到三角形的邊長(zhǎng)比，根據(jù)邊長(zhǎng)比可得一個(gè)關(guān)于t的一元一次方程，解此方程可得t的值；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，從而得到△BPM∽△BDC，根據(jù)相似比例求出PM的長(zhǎng)，可以得到用t表示面積的函數(shù)解析式，再求最大值；
（3）分三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分別求t的值．

解答：解：（1）由題意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t，
∵PQ⊥BC，
∴△BPQ∽△BDC，
∴

BP

BD

=

BQ

BC

即

5-t

5

=

t

4

，
∴t=

20

9

，
當(dāng)t=

20

9

時(shí)，PQ⊥BC；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，
∴△BPM∽△BDC，
∴

5-t

5

=

PM

3

，
∴PM=

3

5

(5-t)，
∴S=

1

2

t×

3

5

(5-t)=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值

15

8

；

（3）①當(dāng)BP=BQ時(shí)，5-t=t，
∴t=

5

2

②當(dāng)BQ=PQ時(shí)，作QE⊥BD，垂足為E，此時(shí)，BE=

1

2

BP=

5-t

2

∴△BQE∽△BDC
∴

BE

BC

=

BQ

BD

即

5-t 2

4

=

t

5

∴t=

25

13

③當(dāng)BP=PQ時(shí)，作PF⊥BC，垂足為F，此時(shí)，BF=

1

2

BQ=

t

2

∴△BPF∽△BDC
∴

BF

BC

=

BP

BD

即

t 2

4

=

5-t

5

∴t=

40

13

∴t1=

40

13

，t2=

5

2

，t3=

25

13

，均使△PBQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，其中涉及解一元一次方程和等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)．