Question

已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，以CD為直徑作⊙O，⊙O與邊BC相交于點F，⊙O的切線DE與邊AB相交于點E，且AE=3EB．
（1）求證：△ADE∽△CDF；
（2）當CF：FB=1：2時，求⊙O與ABCD的面積之比．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）設CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x，設EB=y，則AE=3y，AB=4y，根據(jù)相似得出，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=，分別求出含參數(shù)y的⊙O面積和四邊形ABCD面積，即可求出答案．
試題解析：解：（1）證明：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DFC=90°.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°.
∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥DC. ∴∠EDC="90°."
∴∠ADF=∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDF.
∵∠A=∠C，∴△ADE∽△CDE.
（2）∵CF：FB=1：2，∴設CF=x，F(xiàn)B=2x，則BC=3x.
∵AE=3EB，∴設EB=y，則AE=3y，AB=4y.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=3x，AB=DC=4y.
∵△ADE∽△CDF，∴，即.
∵x、y均為正數(shù)，∴x="2y." ∴BC=6y，CF=2y.
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：，
∴⊙O的面積為，
四邊形ABCD的面積為.
∴⊙O與四邊形ABCD的面積之比為．