Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線(xiàn)AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的長(zhǎng)；

（2）若BP=2，求CQ的長(zhǎng)；

（3）記線(xiàn)段PQ與線(xiàn)段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）CQ或CQ；（3）或

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，再結(jié)合點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)可得CD的長(zhǎng)，然后證得△ABC∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；

（2）分①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）由△BPD∽△EQD可得，若設(shè)BP=x ，則，，可得，即得∠QPD=∠C，又可證∠PDE=∠CDQ，則可得△PDF∽△CDQ，再分①當(dāng)CQ=CD時(shí)，②當(dāng)QC=QD時(shí)，③當(dāng)DC=DQ時(shí)，三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

∴BC=10

點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)

∴CD=5

可證△ABC∽△DEC

∴， 即

∴，；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，

在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，

∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90°

∴∠PDQ=∠BDE=90°

∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD

∴，即，

∴

∴CQ=EC-EQ；

②當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得：，

∴CQ=EC+EQ；

（3）∵線(xiàn)段PQ與線(xiàn)段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，

∴點(diǎn)P在邊AB上

∵△BPD∽△EQD

∴

若設(shè)BP=x ，則，，可得

∴∠QPD=∠C

又可證∠PDE=∠CDQ

∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF為等腰三角形

∴△CDQ為等腰三角形

①當(dāng)CQ=CD時(shí)，可得，解得

②當(dāng)QC=QD時(shí)， 過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥CB于M，

∴，

∴，解得

③當(dāng)DC=DQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CQ于N，

∴，

∴，解得(不合題意，舍去)

∴綜上所述，或.