Question

【題目】學(xué)生小明將線段的垂直平分線上的點(diǎn)，稱作線段的“軸點(diǎn)”.其中，當(dāng)時，稱為線段的“長軸點(diǎn)”；當(dāng)時，稱為線段的“短軸點(diǎn)”.

（1）如圖1，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則在，，，中線段的“短軸點(diǎn)”是______.

（2）如圖2，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，且.

①若為線段的“長軸點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.或

②點(diǎn)為軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)，在線段的垂直平分線的同側(cè).若為線段的“軸點(diǎn)”，當(dāng)線段與的和最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2）①D；② .

【解析】

（1）先排除點(diǎn),再分別表示角的正切值，根據(jù)特殊角的正切值，得出三個角的范圍即可得出答案；

（2）①根據(jù)已知求出AB的長，作線段AB 的垂直平分線，并分別求出t=0,及t=3時，角的度數(shù)，從而得出點(diǎn)P為AB的長軸點(diǎn)時t的范圍；

②根據(jù)題意，得出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，為與直線的交點(diǎn)時，最小.再根據(jù)OA=3列方程即可得出答案.

解：（1）

點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線l上

不是線段AB的“軸點(diǎn)”

,,

，,

,，

點(diǎn)為線段AB的“短軸點(diǎn)”，點(diǎn)為線段AB的“短軸點(diǎn)”，點(diǎn)為線段AB的“長軸點(diǎn)”.

故答案為：，.

（2）①D

直線AB函數(shù)：

作線段AB的垂直平分線l，與AB交與點(diǎn)M，作交直線l與點(diǎn)，此時點(diǎn)P橫坐標(biāo)為3，直線l與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P橫坐標(biāo)為0的情況.連接 ,.

同理可知，

當(dāng)或時，點(diǎn)P為線段AB的“長軸點(diǎn)”

故選D.

②根據(jù)題意，點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

點(diǎn)，在直線的同側(cè)時，

對于滿足題意的點(diǎn)的每一個位置，都有.

∵，，

∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，為與直線的交點(diǎn)時，最小.

如圖，∵，，

∴.

∴.

在中，設(shè)，則.

∴.解得x=1.

∴.

綜上，當(dāng)線段與的和最小時，點(diǎn)的坐標(biāo)為.