Question

【題目】如圖，已知點A，B，C，D均在已知圓上，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長為10.

(1)求此圓的半徑；

(2)求圖中陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）圓的半徑為2；（2）-

【解析】試題分析：（1）已知AC平分∠BCD，由角平分線的定義可得∠ACD=∠ACB，

再由AD∥BC，即可得∠ACB=∠DAC=∠ACD，因∠ADC=120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形互補可得∠ACB=∠DAC=∠ACD =30°，∠B=60°，根據(jù)圓周角定理的推論可得AB=AD=DC，且∠BAC=90°，即可BC為直徑；設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，

由四邊形ABCD的周長為10cm，可得x+x+x+2x=10，解得x=2，即可求得⊙O的半徑為2；（2）設圓心為O，連接OA、OD，由（1）可知OA=OD=AD，可得△AOD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOD=60°；因AD∥BC，可得,即可得.

試題解析：

（1）∵AC平分∠BCD，

∴∠ACD=∠ACB，

又∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC=∠ACD，

而∠ADC=120°，

∴∠ACB=∠DAC=∠ACD =30°，∠B=60°，

∴AB=AD=DC，且∠BAC=90°，

∴BC為直徑，設圓心為O，AB=x，則BC=2AB=2x，

又∵四邊形ABCD的周長為10cm，

∴x+x+x+2x=10，解得x=2，

即⊙O的半徑為2.

（2）設圓心為O，連接OA、OD，

由（1）可知OA=OD=AD，

∴△AOD為等邊三角形，

∴∠AOD=60°；

∵AD∥BC，

∴,

∴.