Question

【題目】在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿(mǎn)足該條件的點(diǎn)的軌跡．例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足（m，m﹣1），所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x﹣1的圖象．即點(diǎn)P的軌跡就是直線(xiàn)y=x﹣1．

（1）若m、n滿(mǎn)足等式mn﹣m=6，則（m，n﹣1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是　 　；

（2）若點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線(xiàn)y=﹣1的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；

（3）若拋物線(xiàn)y=上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿(mǎn)足MN=a（a為常數(shù)，且a≥4），設(shè)線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q到x軸的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y=x2；（3）點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1．

【解析】

（1）先判斷出m（n﹣1）=6，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和點(diǎn)P到直線(xiàn)y=﹣1的距離建立方程即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用MN=a，得出，即可得出結(jié)論．

（1）設(shè)m=x，n﹣1=y，

∵mn﹣m=6，

∴m（n﹣1）=6，

∴xy=6，

∴

∴（m，n﹣1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是

故答案為：；

（2）∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1），

∴點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離的平方為x2+（y﹣1）2，

∵點(diǎn)P（x，y）到直線(xiàn)y=﹣1的距離的平方為（y+1）2，

∵點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)A（0，1）的距離與到直線(xiàn)y=﹣1的距離相等，

∴x2+（y﹣1）2=（y+1）2，

∴

（3）設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為

∴

∴x2﹣4kx﹣4b=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，

∴

∴

∴

∴點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1．