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        1. 問(wèn)題背景:
          在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          、
          10
          、
          13
          ,求這個(gè)三角形的面積.
          小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.
          (1)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          a,2
          2
          a,
          17
          a
          (a>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.
          思維拓展:
          (2)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為
          m2+16n2
          ,
          9m2+4n2
          ,2
          m2+n2
          (m>0,n>0,且m≠n),試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積.
          探索創(chuàng)新:
          (3)已知a、b都是正數(shù),a+b=3,求當(dāng)a、b為何值時(shí)
          a2+4
          +
          b2+25
          有最小值,并求這個(gè)最小值.
          (4)已知a,b,c,d都是正數(shù),且a2+b2=c2,c
          a2-d2
          =a2,求證:ab=cd.
          分析:(1)
          5
          a是直角邊長(zhǎng)為a,2a的直角三角形的斜邊;2
          2
          a是直角邊長(zhǎng)為2a,2a的直角三角形的斜邊;
          17
          a是直角邊長(zhǎng)為a,4a的直角三角形的斜邊,把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積;
          (2)結(jié)合(1)易得此三角形的三邊分別是直角邊長(zhǎng)為m,4n的直角三角形的斜邊;直角邊長(zhǎng)為3m,2n的直角三角形的斜邊;直角邊長(zhǎng)為2m,2n的直角三角形的斜邊.同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積由(1)的結(jié)果可作BD=12,過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD,交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),使AB=2,ED=3,連接AE交BD于點(diǎn)C,然后構(gòu)造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性質(zhì)(3)可作BD=3,過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD,交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),使AB=2,ED=5,連接AE交BD于點(diǎn)C,然后構(gòu)造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式
          a2+4
          +
          b2+25
          的最小值.
          (4)根據(jù)a2+b2=c2,c
          a2-d2
          =a2,得出c2(a2-d2)=a4,進(jìn)而得出(a2+b2)(a2-d2)=a4,再去括號(hào)得出a2b2=d2c2,即可得出答案.
          解答:解:(1)如圖:

          S△ABC=2a×4a-
          1
          2
          a×2a-
          1
          2
          ×2a×2a-
          1
          2
          a×4a=3a2;

          (2)構(gòu)造△ABC所示,(未在試卷上畫出圖形不扣分)

          S△ABC=3m×4n-
          1
          2
          ×m×4n-
          1
          2
          ×3m×2n-
          1
          2
          ×2m×2n=5mn.  

          (3)如圖所示:已知AB=2,DE=5,BD=3,
          AB⊥BD,DE⊥BD,當(dāng)AE在一條直線上時(shí),AC+CE最小,
          由題意得出:AB∥DE,
          ∴△ABC′∽△EDC′,
          AB
          ED
          =
          BC′
          C′D
          ,
          2
          5
          =
          BC′
          3-BC′
          ,
          解得:BC′=
          6
          7
          ,C′D=3-
          6
          7
          =
          15
          7
          ,
          過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD,交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),
          根據(jù)題意,四邊形ABDF為矩形.
          EF=AB+DE=2+5=7,AF=DB=3.
          ∴AE=
          49+9
          =
          58

          即AC+CE的最小值是
          58
          ,
          故:a=
          6
          7
          ,b=3-
          6
          7
          =
          15
          7
          時(shí),
          a2+4
          +
          b2+25
          有最小值為
          58



          (4)證明:∵a2+b2=c2,c
          a2-d2
          =a2,
          ∴c2(a2-d2)=a4,
          則(a2+b2)(a2-d2)=a4
          整理得出:a2b2=a2d2+b2d2,
          ∴a2b2=d2(a2+b2),
          ∴a2b2=d2c2,
          ∵a,b,c,d都是正數(shù),
          ∴ab=cd.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查了最短路線問(wèn)題以及勾股定理應(yīng)用,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,通過(guò)構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.,關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問(wèn)題背景:
          在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          、
          10
          、
          13
          ,求這個(gè)三角形的面積.
          小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
          (1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上
           

          思維拓展:
          (2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          a
          、2
          2
          a
          、
          17
          a
          (a>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積;
          探索創(chuàng)新:
          (3)若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為
          m2+16n2
          、
          9m2+4n2
          2
          m2+n2
          (m>0,n>0,且m≠n),試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積.
          精英家教網(wǎng)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問(wèn)題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          、
          10
          、
          13
          ,求這個(gè)三角形的面積小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂精英家教網(wǎng)點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖1所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
          (1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上.
           

          (2)畫△DEF,DE、EF、DF三邊的長(zhǎng)分別為
          2
          、
          8
          10

          ①判斷三角形的形狀,說(shuō)明理由.
          ②求這個(gè)三角形的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問(wèn)題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          、
          10
          13
          ,求此三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),如圖①所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.
          (1)請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上:
          3.5
          3.5

          思維拓展:
          (2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.如果△ABC三邊的長(zhǎng)分別
          5
          a、
          8
          a、
          17
          a(a>0),請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問(wèn)題背景:“在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          、
          10
          13
          ,求這個(gè)三角形的面積.”
          小輝同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)絡(luò)中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),
          (1)如圖所示.這樣不需求△ABC的高,而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積是
          3.5
          3.5

          (2)如圖我們把上述求面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△DCE三邊的長(zhǎng)分別為
          m2+16n2
          、
          9m2+4n2
          、
          4m2+4n2
          (m>0,n>0,且m≠n),試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          問(wèn)題背景:在△ABC中,AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為
          5
          10
          、
          13
          ,求這個(gè)三角形BC邊上的高.
          杰杰同學(xué)在解答這道題時(shí),先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處).借用網(wǎng)格等知識(shí)就能計(jì)算出這個(gè)三角形BC邊上的高.
          (1)請(qǐng)?jiān)谡叫尉W(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC;
          (2)求出這個(gè)三角形BC邊上的高.

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