Question

如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E（x，y）運(yùn)動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？
（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+；
（2）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x²+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）存在點(diǎn)E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，此時點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）．

試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）由點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離，又由S=2S_△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時點(diǎn)E坐標(biāo)只能（，﹣），而坐標(biāo)為（，﹣）點(diǎn)在拋物線上，故可判定存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形．
試題解析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，則由題意可得：
，解得．
∴所求拋物線的解析式為：y=x²﹣4x+；
（2）∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，且在x軸下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OB是平行四邊形OEBF的對角線，
∴S=2S_△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x²﹣4x+）=﹣x²+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）²+
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x²+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）∵當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時，平行四邊形OEBF是正方形，
∴此時點(diǎn)E坐標(biāo)只能（，﹣），而坐標(biāo)為（，﹣）點(diǎn)在拋物線上，
∴存在點(diǎn)E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，
此時點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）．