Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=10，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A，B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．

（1）因?yàn)?!--BA-->

 

，所以△ADE∽△ABC．
（2）如圖1，當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；
（3）設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y．
①如圖2，當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；
②如圖3，當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；
③當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）有平行于三角形一邊的直線截另兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，可知因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC；
（2）由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

DE

BC

=

AN

AM

，又由正方形DEFG的各邊都相等，即可求得DE的長(zhǎng)，即正方形DEFG的邊長(zhǎng)；
（3）①由正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部，可得△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，根據(jù)正方形面積的求解方法，易得y=x²；②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，由△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得y=-

3

5

x2+6x；
③分別求解①與②中的最大值，比較后即可求得y的最大值．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，
而AN=AM-MN=AM-DE，
∴

DE

10

=

6-DE

6

，
解之得DE=

15

4

，
∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為

15

4

；

（3）①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，
∵DE=x，
∴y=x²，
此時(shí)x的范圍是0＜x≤

15

4

；
②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AN

AM

，
而AN=AM-MN=AM-EP，
∴

x

10

=

6-EP

6

，
解得EP=6-

3

5

x．
所以y=x(6-

3

5

x)，
即y=-

3

5

x2+6x，
此時(shí)

15

4

＜x＜10；
③當(dāng)0＜x≤

15

4

時(shí)，
△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值y=x2=(

15

4

)2=14.0625，
當(dāng)

15

4

＜x＜10時(shí)，
y=-

3

5

x2+6x，
=-

3

5

(x-5)2+15
∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值為15，
∵14.0625＜15
∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要仔細(xì)分析．