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        1. 【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),現(xiàn)將線段BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)D.
          (1)如圖1,若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O,且a=﹣
          ①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式;
          ②連結(jié)CD,問:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;

          (2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1,1),點(diǎn)Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余.若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè),請直接寫出a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,如圖1,

          ∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,

          ∴∠DBF=∠BAO,

          又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,

          在△AOB和△BFD中,

          ,

          ∴△AOB≌△BFD(AAS)

          ∴DF=BO=1,BF=AO=2,

          ∴D的坐標(biāo)是(3,1),

          根據(jù)題意,得a=﹣ ,c=0,且a×32+b×3+c=1,

          ∴b= ,

          ∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x;

          ②∵點(diǎn)A(0,2),B(1,0),點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn),

          ∴C( ,1),

          ∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1,

          ∴CD∥x軸,

          ∴∠BCD=∠ABO,

          ∴∠BAO與∠BCD互余,

          要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=∠BAO,

          設(shè)P的坐標(biāo)為(x,﹣ x2+ x),

          (Ⅰ)當(dāng)P在x軸的上方時(shí),過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖2,

          則tan∠POB=tan∠BAO,即 =

          = ,解得x1=0(舍去),x2= ,

          ∴﹣ x2+ x= ,

          ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為( );

          (Ⅱ)當(dāng)P在x軸的下方時(shí),過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,如圖3

          則tan∠POB=tan∠BAO,即 =

          = ,解得x1=0(舍去),x2= ,

          ∴﹣ x2+ x=﹣ ,

          ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,﹣ );

          綜上,在拋物線上是否存在點(diǎn)P( )或( ,﹣ ),使得∠POB與∠BCD互余


          (2)解:如圖3,

          ∵D(3,1),E(1,1),

          拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)E、D,代入可得 ,解得 ,所以y=ax2﹣4ax+3a+1.

          分兩種情況:

          ①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時(shí),若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè),則點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè).

          (i)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí),直線OQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),滿足條件的Q有2個(gè);

          (ii)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí),要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)必須在x軸的正半軸上,與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸,所以3a+1<0,解得a<﹣ ;

          ②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時(shí),點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè),

          (i)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí),直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn),符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè);

          (ii)當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí),要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn),符合條件的點(diǎn)Q才兩個(gè).

          根據(jù)(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,

          ∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此時(shí)直線OQ的斜率為﹣ ,則直線OQ的解析式為y=﹣ x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以△=(﹣4a+ 2﹣4a(3a+1)>0,即4a2﹣8a+ >0,解得a> (a< 舍去)

          綜上所示,a的取值范圍為a<﹣ 或a>


          【解析】(1)①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,先依據(jù)AAS證明△AOB≌△BFD,從而可得到D的坐標(biāo),然后將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入到拋物線的解析式求解即可;②先證得CD∥x軸,故此可得到∠POB=∠BAO,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,-x2+x),分為P在x軸的上方,P在x軸的下方兩種情況畫出圖形,過P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列比例式求解即可;
          (2)如果使得符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè),那么當(dāng)a<0時(shí),拋物線交于y軸的負(fù)半軸,當(dāng)a>0時(shí),最小值得<-1,接下來,解關(guān)于a的不等式即可.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD,則CD=( )

          A.3
          B.4
          C.4.8
          D.5

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】ABC在平面直角坐標(biāo)系中,A、B、C.將其平移后得到,AB的對應(yīng)點(diǎn)是,,C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.

          (1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出ABC;

          (2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________,坐標(biāo)是___________;

          (3)此次平移也可看作________平移了____________個(gè)單位長度,再向_______平移了______個(gè)單位長度得到△ABC.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在邊長為10的菱形ABCD中,對角線BD16,對角線AC,BD相交于點(diǎn)G,點(diǎn)O是直線BD上的動(dòng)點(diǎn),OEABE,OFADF.

          (1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積.

          (2)如圖①,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),OEOF的值是否發(fā)生變化?請說明理由.

          (3)如圖②,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD的延長線上時(shí),OEOF的值是否發(fā)生變化?若不變,請說明理由;若變化,請?zhí)骄?/span>OE,OF之間的數(shù)量關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】在彈性限度內(nèi),彈簧掛上物體后會伸長,測得彈簧的長度 ycm)與所掛物體的質(zhì)量 xkg)之間有如下表關(guān)系:

          下列說法不正確的是(

          A.y x 的增大而增大B.所掛物體質(zhì)量每增加 1kg彈簧長度增加 0.5cm

          C.所掛物體為 7kg時(shí),彈簧長度為 13.5cmD.不掛重物時(shí)彈簧的長度為 0cm

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知直線AB∥CD,F(xiàn)H平分∠EFD,F(xiàn)G⊥FH,∠AEF=62°,則∠GFC=_____度.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】1)如圖1,ABCD,∠A=35°,∠C=40°,求∠APC的度數(shù).(提示:作PEAB).

          2)如圖2ABDC,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BAP=∠α,∠DCP=∠β,求∠CPA與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

          3)在(2)的條件下,如果點(diǎn)P在射線DM上運(yùn)動(dòng),請你直接寫出∠CPA與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系______.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】益馬高速通車后,將桃江馬跡塘的農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往益陽的運(yùn)輸成本大大降低。馬跡塘一農(nóng)戶需要將A,B兩種農(nóng)產(chǎn)品定期運(yùn)往益陽某加工廠,每次運(yùn)輸A,B產(chǎn)品的件數(shù)不變,原來每運(yùn)一次的運(yùn)費(fèi)是1200元,現(xiàn)在每運(yùn)一次的運(yùn)費(fèi)比原來減少了300元,A,B兩種產(chǎn)品原來的運(yùn)費(fèi)和現(xiàn)在的運(yùn)費(fèi)(單位:元∕件)如下表所示:

          品種

          A

          B

          原來的運(yùn)費(fèi)

          45

          25

          現(xiàn)在的運(yùn)費(fèi)

          30

          20

          (1)求每次運(yùn)輸?shù)霓r(nóng)產(chǎn)品中A,B產(chǎn)品各有多少件?

          (2)由于該農(nóng)戶誠實(shí)守信,產(chǎn)品質(zhì)量好,加工廠決定提高該農(nóng)戶的供貨量,每次運(yùn)送的總件數(shù)增加8件,但總件數(shù)中B產(chǎn)品的件數(shù)不得超過A產(chǎn)品件數(shù)的2倍,問產(chǎn)品件數(shù)增加后,每次運(yùn)費(fèi)最少需要多少元?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】列方程解應(yīng)用題:

          2018年10月24日港珠澳大橋正式開通,它是中國建設(shè)史上里程最長、投資最多、施工難度最大的跨海橋梁項(xiàng)目,體現(xiàn)了我國逢山開路、遇水架橋的奮斗精神,體現(xiàn)了我國綜合國力、自主創(chuàng)新能力,體現(xiàn)了我國勇創(chuàng)世界一流的民族志氣. 港珠澳大橋全長55公里,跨越伶仃洋,東接香港特別行政區(qū),西接廣東省珠海市和澳門特別行政區(qū),首次實(shí)現(xiàn)了珠海、澳門與香港的跨海陸路連接,極大地縮短了三地間的距離. 通車前,小亮媽媽駕車從香港到珠海的陸路車程大約220公里,如果行駛的平均速度不變,港珠澳大橋通車后,小亮媽媽駕車從香港到珠海所用的行駛時(shí)間比原來縮短了2小時(shí)15分鐘,求小亮媽媽原來駕車從香港到珠海需要多長時(shí)間.

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