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        1. (2002•河南)已知,如圖,直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,⊙M經(jīng)過原點O及A、B兩點.
          (1)求以OA、OB兩線段長為根的一元二方程;
          (2)C是⊙M上一點,連接BC交OA于點D,若∠COD=∠CBO,寫出經(jīng)過O、C、A三點的二次函數(shù)的解析式;
          (3)若延長BC到E,使DE=2,連接EA,試判斷直線EA與⊙M的位置關系,并說明理由.

          【答案】分析:(1)本題的關鍵是求出OA,OB的長,可根據(jù)過A,B兩點的直線解析式來得出A,B兩點的坐標,即可得出OA,OB的長.進而可根據(jù)韋達定理得出所求的一元二次方程.
          (2)本題要先求出C點的坐標,已知∠COD=∠CBO,那么C是弧OA的中點,連接MC,可根據(jù)垂徑定理求出C點的坐標.而后根據(jù)O,A,C三點的坐標即可得出拋物線的解析式.
          (3)本題只需證EA⊥AB即可.在直角三角形OBD中,可求得∠BDO=60°,而AD=DE=2,由此可得出三角形ADE是等邊三角形,因此∠DAE=60°,而∠BAO=30°,由此可得出∠BAE=90°,即可得證.
          解答:解:(1)∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,
          ∴A(-3,0),B(0,
          ∴OA=3,OB=
          以OA,OB兩線段長為根的一元二次方程是:x2-(+3)x+3=0.

          (2)∵∠COD=∠CBO,∠COD=∠CBA
          ∴∠CBA=∠CBO
          ∴弧AC=弧OC
          ∵∠AOB=90°
          ∴AB為⊙M的直徑.
          連接MC交OA于點G.
          ∴MC⊥OA.
          ∴OG=AG=OA=
          根據(jù)勾股定理得:MG==,
          ∴MC=AB===
          ∴CG=MC-MG=-=
          ∴C(-,-).
          設經(jīng)過O,C,A三點的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,依題意可得:
          ,
          解得:
          因此拋物線的解析式為y=x2+x.

          (3)直線EA與⊙M相切,理由如下:
          在直角三角形OAB中,
          ∵OB=,OA=3;
          ∴tan∠OAB=,
          ∴∠OAB=30°,
          ∴∠OBA=60°,
          ∵∠COD=∠CBO,∠OCD=∠BCO,
          ∴△OCD∽△BCO,
          ∴∠CDO=∠BOC,又∠CDO=∠ADB,
          ∴∠ADB=∠COB,又∠BAD=∠BCO,
          ∴△ADB∽△COB,
          ∴∠ABD=∠CBO=∠ABO,
          ∴∠OBC=30°.
          ∴∠ADE=∠BDO=60°.
          在直角三角形BOD中,OD=OB•tan30°=×=1.
          ∴AD=2,又DE=2
          ∴△ADE為等邊三角形.
          ∴∠OAE=60°
          ∴∠BAE=30°+60°=90°
          ∴直線EA與⊙M相切.
          點評:本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系,二次函數(shù)解析式的確定、垂徑定理等知識點.考查學生綜合應用知識、解決問題的能力.
          練習冊系列答案
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