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        1. 【題目】如圖1,菱形ABCD中,AB=10,連接BD,tan∠ABD= ,若P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合),連接AP,與對(duì)角線相交于點(diǎn)E,連接EC.

          (1)求證:AE=CE;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí),設(shè)BP=x,S△EPC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出x的取值范圍;
          (3)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),若△EPC是直角三角形,求線段BP的長(zhǎng).

          【答案】
          (1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,

          ∴BA=BC,∠ABE=∠CBE.

          在△ABE和△CBE中, ,

          又∵BE=BE,

          ∴△ABE≌△CBE

          ∴AE=CE


          (2)解:連接AC,交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AH⊥BC,過點(diǎn)E作EF⊥BC,如圖1所示:

          垂足分別為點(diǎn)H、F.

          ∵四邊形ABCD是菱形,

          ∴AC⊥BD.

          ∵AB=10,tan∠ABD= = ,

          ∴AO=OC=2 ,BO=OD=4 ,AC=4 ,BD=8 ,

          ACBD=BCAH,

          ∴AH=8,∴BH= =6.

          ∵AD∥BC

          ,

          = ,

          =

          ∵EF∥AH,

          ,

          ∴EF=

          ∴y= PC′EF= (10﹣x) =

          即y═ ,(0<x<10)


          (3)解:因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上,所以∠EPC不可能為直角.如圖2所示:

          ①當(dāng)∠ECP=90°時(shí)

          ∵△ABE≌△CBE,

          ∴∠BAE=∠BCE=90°,

          ∵cos∠ABP= = ,即

          ∴BP=

          ②當(dāng)∠CEP=90°時(shí),

          ∵△ABE≌△CBE,

          ∴∠AEB=∠CEB=45°,

          ∴AO=OE=2 ,

          ∴ED=2 ,BE=6

          ∵AD∥BP,

          ,

          ,

          ∴BP=30.

          綜上所述,當(dāng)△EPC是直角三角形時(shí),線段BP的長(zhǎng)為 或30.


          【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BA=BC,∠ABD=∠CBD.由SAS證明△ABE≌△CBE,即可得出結(jié)論.
          (2)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AH⊥BC于H,過點(diǎn)E作EF⊥BC于F,由菱形的對(duì)角線互相垂直,得出AC⊥BD,利用解直角三角形求出AC,BD的長(zhǎng)再根據(jù)菱形面積= ACBD=BCAH,得出AH=8,BH=6,由相似三角形的性質(zhì)(平行線分線段成比例)得出比例式,求出EF的長(zhǎng),即可得出答案。
          (3)因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上,所以∠EPC不可能為直角.分情況討論:①當(dāng)∠ECP=90°時(shí)和②當(dāng)∠CEP=90°時(shí),通過證三角形全等和相似,由全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可得出答案。
          【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的菱形的性質(zhì)和平行線分線段成比例,需要了解菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半;三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例才能得出正確答案.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          1)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo);

          2)當(dāng)ODC的面積是ABD的面積的3倍時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

          3)設(shè)OCD=α,DBA=β,BDC=θ,判斷αβ、θ之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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          (1)在圖中標(biāo)出點(diǎn)A、B、C.

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          A.
          B.
          C.
          D.12

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