Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若AB=3，AD=4，求四邊形OCED的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）菱形OCED的周長(zhǎng)為，菱形OCED的面積為6．

【解析】

（1）首先根據(jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論；

（2）先求證四邊形AOED是平行四邊形，從而得到OE=AD=4，然后利用菱形面積公式求其面積，利用勾股定理和矩形性質(zhì)求得OD的長(zhǎng)，從而得出該菱形的邊長(zhǎng)，則菱形周長(zhǎng)可求．

（1）∵DE∥AC，CE∥BD

∴四邊形OCED是平行四邊形

∴OC=DE，OD=CE

又∵矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O

∴OC=OD

∴平行四邊形OCED是菱形

（2）如圖，連接OE，交CD于點(diǎn)F

由（1）知，四邊形OCED是菱形

∴OE⊥CD

又∵矩形ABCD中，AD⊥CD，CD=AB=3

∴AD∥OE

又∵DE∥AC，

∴四邊形AOED是平行四邊形

∴OE=AD=4

∴菱形OCED的面積：

在Rt△ABD中，AB=3，AD=4

∴BD=5

∴

∴菱形OCED的周長(zhǎng)為