Question

【題目】已知直線y＝2x＋m與拋物線y＝ax2＋ax＋b有一個公共點M(1，0)，且a＜b.

(1)求拋物線頂點Q的坐標（用含a的代數式表示）；

(2)說明直線與拋物線有兩個交點；

(3)直線與拋物線的另一個交點記為N.

①若－1≤a≤一，求線段MN長度的取值范圍；

②求△QMN面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（-，-）（2）證明見解析（3）

【解析】分析: （1）把M點坐標代入拋物線解析式可得到b與a的關系，可用a表示出拋物線解析式，化為頂點式可求得其頂點坐標；
（2）由直線解析式可先求得m的值，聯立直線與拋物線解析式，消去y，可得到關于x的一元二次方程，再判斷其判別式大于0即可；
（3）①由（2）的方程，可求得N點坐標，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函數性質可求得MN長度的取值范圍；②設拋物線對稱軸交直線與點E，則可求得E點坐標，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面積，再整理成關于a的一元二次方程，利用判別式可得其面積的取值范圍，可求得答案

詳解:

（1）∵M（1，0），

∴b=-2a，

∴y=ax2+ax+b

=ax2+ax-2a

= a(x+)2－

∴頂點Q的坐標為（－，－）.

（2）由直線y=2x+m經過點M（1，0），可得m=－2.

∴y=2x-2

∴ax2+（a-2）x-2a+2=0

∴△=（a-2）2－4×a×（－2a+2）=（3a－2）2

∵2a +b=0，a<b

∴a<0

∴△>0

∴方程有兩個不相等的實數根，

∴直線與拋物線有兩個交點.

（3）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

即x2+(1- )x-2+=0，

∴（x-1）（x+2-）=0,

解得x1=1,x2 =-2，

∴點N（-2，-6）.

（i）根據勾股定理得，

MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，

∵-1≤a≤-，

∴-2≤ ≤-1，

∴<0，

∴MN=2 （ ）=3 ，

∴5≤MN≤7.

（ii）作直線x=－ 交直線y=2x-2于點E，

把x=－代入y=2x-2得，y=-3，

即E（－，-3），

∵M（1，0），N（-2，-6），且由（2）知a<0，

∴S△QMN =S△QEN+S△QEM= = ，

即27a2+(8S-54)a+24=0，

∵關于a的方程有實數根，

∴△=（8S-54）2-4×27×24≥0，

即（8S-54）2≥（36 ）2，

又∵a<0，

∴S=> ,

∴8S-54>0，

∴8S-54≥36，即S≥ ，

當S=時，由方程可得a=- 滿足題意.

∴△QMN面積的最小值為.

點睛: 本題為二次函數的綜合應用，涉及函數圖象的交點、二次函數的性質、根的判別式、勾股定理、三角形的面積等知識．在（1）中由M的坐標得到b與a的關系是解題的關鍵，在（2）中聯立兩函數解析式，得到關于x的一元二次方程是解題的關鍵，在（3）中求得N點的坐標是解題的關鍵，在最后一小題中用a表示出△QMN的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大.