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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E.
          (1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點(diǎn);
          (3)若P(x,y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
          分析:(1)可根據(jù)直線y=-2x-1求出B點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)A、O關(guān)于直線x=2對(duì)稱,可得出A點(diǎn)的坐標(biāo),已知了拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
          (2)先求出C、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo),
          ①根據(jù)C、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CB,CE的長(zhǎng),判斷它們是否相等即可;
          ②本題可通過構(gòu)建全等三角形來(lái)求解,過B作BF⊥y軸于F,過E作EH⊥y軸于H,根據(jù)B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可得出BF=EH,DF=DH,通過證兩三角形全等即可得出BD=DE即D是BE中點(diǎn)的結(jié)論;
          (3)若PB=PE,則P點(diǎn)必在線段BE的垂直平分線上即直線CD上,可求出直線CD的解析式,聯(lián)立拋物線即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
          解答:(1)解:∵點(diǎn)B(-2,m)在直線y=-2x-1上
          ∴m=-2×(-2)-1=3
          ∴B(-2,3)
          ∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A,對(duì)稱軸為x=2
          ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)
          設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4)
          將點(diǎn)B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4)
          ∴a=
          1
          4

          ∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          4
          x(x-4)
          即y=
          1
          4
          x2-x;

          (2)證明:①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D(0,-1)E(2,-5),
          過點(diǎn)B作BG∥x軸,與y軸交于F、直線x=2交于G,
          則BG⊥直線x=2,BG=4
          在Rt△BGC中,BC=
          CG2+BG2
          =5

          ∵CE=5,
          ∴CB=CE=5
          ②過點(diǎn)E作EH∥x軸,交y軸于H,
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          則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(0,-5)
          又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F(0,3)、D(0,-1)
          ∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°
          ∴△DFB≌△DHE(SAS)
          ∴BD=DE
          即D是BE的中點(diǎn);

          (3)解:存在.
          由于PB=PE,∴點(diǎn)P在直線CD上
          ∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)
          設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b
          將D(0,-1)C(2,0)代入,得
          b=-1
          2k+b=0
          ,
          解得k=
          1
          2
          ,b=-1
          ∴直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          2
          x-1
          ∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,
          1
          4
          x2-x)
          1
          2
          x-1=
          1
          4
          x2-x
          解得x1=3+
          5
          ,x2=3-
          5

          ∴y1=
          1+
          5
          2
          ,y2=
          1-
          5
          2

          ∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3+
          5
          ,
          1+
          5
          2
          )或(3-
          5
          ,
          1-
          5
          2
          ).
          點(diǎn)評(píng):本題為二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=-2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點(diǎn)D、E.
          (1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)①判斷△CBE的形狀,并說明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
          (3)若P(x,y)是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•衡陽(yáng))如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點(diǎn),對(duì)稱軸是x=-1.
          (1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)Q作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
          ①當(dāng)t為何值時(shí),四邊形OMPQ為矩形;
          ②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A,它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E,
          (1)求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點(diǎn).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,2),
          (1)求該拋物線的解析式;
          (2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn),與原拋物線交于點(diǎn)P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
          (3)當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)Q為平移后的拋物線的一動(dòng)點(diǎn),是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)為M(2,4),矩形ABCD的頂點(diǎn)A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
          (1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
          (2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng);同時(shí)AB上一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點(diǎn)為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說明理由.
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