Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點(diǎn)D、E．
（1）求m的值及該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點(diǎn)；
（3）若P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PB=PE？若存在，試求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)直線y=-2x-1求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、O關(guān)于直線x=2對(duì)稱，可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，已知了拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）先求出C、B、E、D四點(diǎn)的坐標(biāo)，
①根據(jù)C、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出CB，CE的長(zhǎng)，判斷它們是否相等即可；
②本題可通過構(gòu)建全等三角形來(lái)求解，過B作BF⊥y軸于F，過E作EH⊥y軸于H，根據(jù)B、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)即可得出BF=EH，DF=DH，通過證兩三角形全等即可得出BD=DE即D是BE中點(diǎn)的結(jié)論；
（3）若PB=PE，則P點(diǎn)必在線段BE的垂直平分線上即直線CD上，可求出直線CD的解析式，聯(lián)立拋物線即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：（1）解：∵點(diǎn)B（-2，m）在直線y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=3
∴B（-2，3）
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，對(duì)稱軸為x=2
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）
設(shè)所求的拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-0）（x-4）
將點(diǎn)B（-2，3）代入上式，得3=a（-2-0）（-2-4）
∴a=

1

4

∴所求的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

4

x（x-4）
即y=

1

4

x²-x；

（2）證明：①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為D（0，-1）E（2，-5），
過點(diǎn)B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，
則BG⊥直線x=2，BG=4
在Rt△BGC中，BC=

CG2+BG2

=5
∵CE=5，
∴CB=CE=5
②過點(diǎn)E作EH∥x軸，交y軸于H，

則點(diǎn)H的坐標(biāo)為H（0，-5）
又點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F（0，3）、D（0，-1）
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°
∴△DFB≌△DHE（SAS）
∴BD=DE
即D是BE的中點(diǎn)；

（3）解：存在．
由于PB=PE，∴點(diǎn)P在直線CD上
∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)
設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b
將D（0，-1）C（2，0）代入，得

b=-1 2k+b=0

，
解得k=

1

2

，b=-1
∴直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x-1
∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²-x）
∴

1

2

x-1=

1

4

x²-x
解得x₁=3+

5

，x₂=3-

5

∴y₁=

1+ 5

2

，y₂=

1- 5

2

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)．