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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2與x軸交于點C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.
          (1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點;
          (3)若P(x,y)是該拋物線上的一個動點,是否存在這樣的點P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)可根據(jù)直線y=-2x-1求出B點的坐標,根據(jù)A、O關(guān)于直線x=2對稱,可得出A點的坐標,已知了拋物線上三點坐標即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
          (2)先求出C、B、E、D四點的坐標,
          ①根據(jù)C、B、E三點的坐標可求出CB,CE的長,判斷它們是否相等即可;
          ②本題可通過構(gòu)建全等三角形來求解,過B作BF⊥y軸于F,過E作EH⊥y軸于H,根據(jù)B、D、E三點坐標即可得出BF=EH,DF=DH,通過證兩三角形全等即可得出BD=DE即D是BE中點的結(jié)論;
          (3)若PB=PE,則P點必在線段BE的垂直平分線上即直線CD上,可求出直線CD的解析式,聯(lián)立拋物線即可求出P點的坐標.
          解答:(1)解:∵點B(-2,m)在直線y=-2x-1上
          ∴m=-2×(-2)-1=3
          ∴B(-2,3)
          ∵拋物線經(jīng)過原點O和點A,對稱軸為x=2
          ∴點A的坐標為(4,0)
          設(shè)所求的拋物線對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x-0)(x-4)
          將點B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4)
          ∴a=
          1
          4

          ∴所求的拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          4
          x(x-4)
          即y=
          1
          4
          x2-x;

          (2)證明:①直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標分別為D(0,-1)E(2,-5),
          過點B作BG∥x軸,與y軸交于F、直線x=2交于G,
          則BG⊥直線x=2,BG=4
          在Rt△BGC中,BC=
          CG2+BG2
          =5

          ∵CE=5,
          ∴CB=CE=5
          ②過點E作EH∥x軸,交y軸于H,
          精英家教網(wǎng)
          則點H的坐標為H(0,-5)
          又點F、D的坐標為F(0,3)、D(0,-1)
          ∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°
          ∴△DFB≌△DHE(SAS)
          ∴BD=DE
          即D是BE的中點;

          (3)解:存在.
          由于PB=PE,∴點P在直線CD上
          ∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點
          設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b
          將D(0,-1)C(2,0)代入,得
          b=-1
          2k+b=0
          ,
          解得k=
          1
          2
          ,b=-1
          ∴直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=
          1
          2
          x-1
          ∵動點P的坐標為(x,
          1
          4
          x2-x)
          1
          2
          x-1=
          1
          4
          x2-x
          解得x1=3+
          5
          ,x2=3-
          5

          ∴y1=
          1+
          5
          2
          ,y2=
          1-
          5
          2

          ∴符合條件的點P的坐標為(3+
          5
          ,
          1+
          5
          2
          )或(3-
          5
          ,
          1-
          5
          2
          ).
          點評:本題為二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象交點等知識.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=-2與x軸交于點C,直線y=-精英家教網(wǎng)2x+1經(jīng)過拋物線上一點B(2,m),且與y軸.直線x=-2分別交于點D、E.
          (1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)①判斷△CBE的形狀,并說明理由;②判斷CD與BE的位置關(guān)系;
          (3)若P(x,y)是該拋物線上的一個動點,是否存在這樣的點P,使得PB=PE?若存在,試求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•衡陽)如圖,已知拋物線經(jīng)過A(1,0),B(0,3)兩點,對稱軸是x=-1.
          (1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)動點Q從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動,同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動,過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N,交拋物線于點P,設(shè)運動的時間為t秒.
          ①當t為何值時,四邊形OMPQ為矩形;
          ②△AON能否為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2與x軸交于點C,直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B(-2,m),且與y軸、直線x=2分別交于點D、E,
          (1)求m的值及該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)求證:①CB=CE;②D是BE的中點.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過坐標原點,與x軸的另一個交點為A,且頂點M坐標為(1,2),
          (1)求該拋物線的解析式;
          (2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個單位,所得拋物線與x軸交于C、D兩點,與原拋物線交于點P,△CDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式;
          (3)當m=2時,點Q為平移后的拋物線的一動點,是否存在這樣的⊙Q,使得⊙Q與兩坐標軸都相切?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上的另一點E,頂點為M(2,4),矩形ABCD的頂點A與O重合,AD,AB分別在x,y軸上,且AD=2,AB=3.
          (1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式;
          (2)現(xiàn)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動;同時AB上一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速運動,設(shè)它們的運動時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與拋物線的交點為N,設(shè)多邊形PNCD的面積為S,試探究S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由.
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